實數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱，前者如0、?4、817；后者如、等。實數(shù)可以直觀地看作小數(shù)（有限或無限的），它們能把數(shù)軸“填滿”。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數(shù)的全域，實數(shù)的全體稱為實數(shù)集或?qū)崝?shù)域，記為。實數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
實數(shù)可用于測量連續(xù)一維量（例如距離、持續(xù)時間或溫度）。連續(xù)意味著值對可以有任意小的差異。每個實數(shù)幾乎都可以通過無限十進(jìn)制展開來唯一地表示。
古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只使用有理數(shù)無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念；而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。從古希臘一直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù)；后來有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱作“實數(shù)”，意即“實在的數(shù)”。在當(dāng)時，盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用，實數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀(jì)末的戴德金、格奧爾格·康托爾等人對實數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。實數(shù)具有序性、絕對性、完備性、阿基米德性質(zhì)。
實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)。實數(shù)是微積分的基礎(chǔ)，可以運用到數(shù)學(xué)、生活、物理和計算機(jī)領(lǐng)域。
定義
實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實數(shù)、負(fù)實數(shù)和零三類。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而整數(shù)可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)可以分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，常見的有理數(shù)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)，如2001，，3.12，0.313313等。無理數(shù)可以分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，常見的無理數(shù)有、、。實數(shù)集合通常用字母或表示。而表示維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實分析的核心研究對象。即實數(shù)集中的任意一個實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。此外，實數(shù)可以用通過收斂于一個唯一實數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415…}所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。
實數(shù)的公理化定義
所謂實數(shù)，其全體構(gòu)成“實數(shù)空間”，是具有下列性質(zhì)的任一集合：
1）是一個域，即中的元素可以作四則運算。也就是說，首先有加法和乘法，并且滿足
中有一個元素“0”，對一切有；又有一個元素“1”，對一切有
對中每一個元素，相應(yīng)有一個元素(記為)使得。如果 則又相應(yīng)有一個元素(記為)使得。設(shè)，則減法就是如果，則除法就是這樣在中就有了全部四則運算。
2）是一個“序域”，即除滿足1）外，分為三個互不相交的部分，第一個部分記做，其中的元素叫做“正數(shù)”。第二個部分只有一個元素“0”。第三個部分是，其中的元素叫做“負(fù)數(shù)”。但要求滿足調(diào)節(jié) （2）
如此，便可在中定義大小次序：如果，則說。特別，若，則；反之亦然，有了正、負(fù)數(shù)以后，于是就可以定義“絕對值”：
對一切，我們有。事實上，如果， 則由所滿足的條件(2)式，如果則同樣由(2)式，。特別，記叫做“自然數(shù)”，它們?nèi)w記為。
3）是一個“阿基米德序域”。意思是說除滿足條件1）和2）以外，還滿足 （3）
這個條件的作用在于。如果，則可證明一定存在“有理數(shù)”（，為正數(shù)，）使。就是說，任意兩個“實數(shù)”之間均有有理數(shù)。
4) 有連續(xù)性，就是說，除了滿足1)、2)、3)以外，還要求連續(xù)性命題成立。一般要求有完備性，即 Cauchy 數(shù)列收斂。由于等價性，自然其余的連續(xù)性命題也都成立。
以上四條叫做實數(shù)公理，實數(shù)是由這四條公理定義的，實數(shù)的一切性質(zhì)，都可以從這四條公理推導(dǎo)出來，這四條公理可以綜合為實數(shù)公理，即“實數(shù)空間”是一個完備的Archimedes序域。
簡史
人類最先只知道自然數(shù)，由于減法使人類認(rèn)識了負(fù)整數(shù)，又由除法認(rèn)識了有理數(shù)。在公元前500年左右，以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要，無法完全精確地表示這條對角線的長度，但畢達(dá)哥拉斯本身并不承認(rèn)無理數(shù)的存在。這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念；而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，最后由開方與不可公度問題發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。
到了17世紀(jì)，人們開始脫離其幾何原型抽象地認(rèn)識實數(shù)，實數(shù)在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì)，微積分學(xué)在實數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。1871年，德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾第一次提出了實數(shù)的嚴(yán)格定義。19世紀(jì)中葉，人們發(fā)現(xiàn)對實數(shù)，特別是無理數(shù)的認(rèn)識仍模糊不清，這促使一批數(shù)學(xué)家關(guān)注于處理無理數(shù)的問題。因此在將近半個世紀(jì)的時間里，他們建立了多種形式上不同，而實質(zhì)上等價的嚴(yán)格的實數(shù)理論，各種形式的構(gòu)造性實數(shù)理論，都是首先從有理數(shù)出發(fā)去定義無理數(shù)。即：數(shù)軸上有理點之間的所有空隙(無理點)，都可以由有理數(shù)經(jīng)過一定的方式來確定。然后證明這樣定義的實數(shù)（原有的有理數(shù)和新定義的無理數(shù)）具有人們原來熟知的實數(shù)所應(yīng)有的一切性質(zhì)，特別是連續(xù)性。
這些形式上不同的實數(shù)理論也就因確定空隙的方法不同而互相區(qū)分，它們主要有：戴德金(Dedekind，J.wR）用有理數(shù)的分割的方法；格奧爾格·康托爾用有理數(shù)的基本列的方法；卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass，K（T.W）用無窮(非循環(huán))十進(jìn)小數(shù)的方法，以及用端點為有理點的閉區(qū)間套和有界單調(diào)有理數(shù)列的方法。站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的立場來看，上述各種方法都是從假定實數(shù)具有某種特性出發(fā)的，而這些特性在實數(shù)范圍內(nèi)都是等價的，因而用這些方法定義出的實數(shù)都是完全相同的。此外，還有一種與上述構(gòu)造法完全不同的定義實數(shù)的方法，那就是戴維·希爾伯特（Hilbert,D于1899 年提出的公理化方法）。他將實數(shù)應(yīng)有的些基本性質(zhì)列為一個公理系統(tǒng)，然后將滿足這個公理系統(tǒng)的對象定義為實數(shù)，基于這些公理的實數(shù)理論與上述基于構(gòu)造法的也互相等價。
概念
正數(shù)
在表示拒用相反意義的量的多少時，其中一種量可以用原來學(xué)過的除0以外的自然數(shù)和分?jǐn)?shù)來表示，現(xiàn)在其為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為正數(shù)。為了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)他們是正數(shù)，還可以在除0以外的數(shù)的前面加上一個“”號（讀作“正號”），如
負(fù)數(shù)
負(fù)數(shù)是一種實數(shù)，指正數(shù)的相反數(shù)。在除0以外的自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的前面加上一個“”號（讀作“負(fù)號”），如。此外，還規(guī)定“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。
復(fù)數(shù)
的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中表示實數(shù)集合稱為虛數(shù)單位，稱實數(shù)，分別為復(fù)數(shù)的實部和虛部，常記為。
當(dāng)實部時，稱為純虛數(shù)；當(dāng)虛部時，就是實數(shù)。因此，全體實數(shù)是復(fù)數(shù)的一部分，復(fù)數(shù)是實數(shù)的推廣，。
有理數(shù)
整數(shù)的擴(kuò)充、整數(shù)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；或?qū)⒎謹(jǐn)?shù)成為有理數(shù)，其中為整數(shù)，；或?qū)⒄麛?shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。由有理數(shù)的定義知，任何有理數(shù)都可以寫為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。
無理數(shù)
無理數(shù)是一種特殊的實數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，由于無理數(shù)不能表示成兩個整數(shù)比的形式，故又稱非比數(shù)。
數(shù)軸
數(shù)軸，亦稱數(shù)直線。數(shù)學(xué)的基本概念之一，指規(guī)定了原點、方向和長度單位的直線。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，并用點能夠表示它對應(yīng)的實數(shù)。
代數(shù)數(shù)
代數(shù)數(shù)，一種特殊方程的根，若數(shù)滿足一個有理系數(shù)代數(shù)方程。
則稱為一個代數(shù)數(shù)，若此方程的系數(shù)都是正數(shù)，則稱為代數(shù)整數(shù)。若所滿足的最低次的代數(shù)方程的次數(shù)是，則稱為次代數(shù)數(shù)，稱為的次數(shù)。
超越數(shù)
一種特殊的實數(shù)，不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)，即不存在任何非零整系數(shù)多項式，使是方程的根。如圓周率和自然對數(shù)的底都是超越數(shù)。
性質(zhì)
四則運算性質(zhì)
任意兩個實數(shù)的和、差、積或商（除數(shù)不為0）仍是實數(shù)，且有下列性質(zhì)（表示任意；表示存在）：
加減法性質(zhì)
對，均有，且有
加法交換律：
加法結(jié)合律：對，有
是特殊實數(shù)，對
對，存在唯一的，使
減法是加法的逆運算，可用性質(zhì)來定義：。如此，減法便可歸結(jié)為加法。
乘除法性質(zhì)
對，有，且有
乘法交換律：
乘法結(jié)合律：
是特殊實數(shù)，對，有
對，存在唯一的，使
除法是乘法的逆運算，可用性質(zhì)來定義：，除法便可歸結(jié)為乘法。
乘法對加法的分配律
乘法對加法運算還有以下性質(zhì)：
對有
在一個集合上，如能定義類似于實數(shù)的加法和乘法的兩種運算及其逆運算，且具有上述的所有運算性質(zhì)時，就稱這個集合為“域”，因此實數(shù)集合也稱為實數(shù)城。此外，有理數(shù)和復(fù)數(shù)也都是數(shù)域。
有序性
以表示任意；表示存在，對，以下三種情況：必有一個且只有一個成立。
其中不等式有以下性質(zhì)：
自反性：即與等價
傳遞性：若，，則
對，若，則
對任意正實數(shù)，若，有
實數(shù)的稠密性：即若且，則使
絕對值
絕對值的定義。以表示任意；表示存在，對，有。的絕對值表示點與原點間的距離。
絕對值的主要性質(zhì)：，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；對有；
距離公理：對，表示與兩點間的距離，具有三個最基本的性質(zhì)：
(a)對稱性；
(b)非負(fù)性，且等號當(dāng)且僅當(dāng)成立；
(c)三角不等式 對，成立不等式
以上三個性質(zhì)是描述距離的本質(zhì)的性質(zhì)，叫距離公理。如果在某個集合之中，對于其中任意的兩個元素 、，可以定義一個非負(fù)的實數(shù)與之對應(yīng)，且具有距離公理的三個性質(zhì)，那么這個集合的元素便可稱作為點，就表示點 與間的距離，而這個集合也就被稱作距離空間。實數(shù)集就是一個距離空間。
完備性
作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是一個完備空間，它有以下性質(zhì)：所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實數(shù)集合的一種方法。
實數(shù)和有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于實數(shù)具有完備性，而有理數(shù)不具備完備性。實數(shù)的完備性是指它有連續(xù)的結(jié)構(gòu)，即實數(shù)與數(shù)軸上的點可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系。而有理數(shù)則不然，像就不是有理數(shù)，而數(shù)軸上總有與對應(yīng)的點，這個點不能與任何有理數(shù)相對應(yīng)。如用有理數(shù)和數(shù)軸上的點作對應(yīng)關(guān)系，數(shù)軸上將有許多不能和有理數(shù)相對應(yīng)的“空隙點”。如果將有理數(shù)擴(kuò)充為實數(shù)，則可以證明。實數(shù)與數(shù)軸上的點有一一對應(yīng)的關(guān)系。這就說明實數(shù)結(jié)構(gòu)就如數(shù)軸一樣，由它的點連續(xù)布滿，這就是完備性。
實數(shù)系的完備性(completeness of real numbersystem )指實數(shù)系對極限運算封閉，也指對實數(shù)使用由有理數(shù)構(gòu)造實數(shù)的方法不能再得到新的數(shù)，它是區(qū)分有理數(shù)系與實數(shù)系的關(guān)鍵性質(zhì)。
阿基米德性質(zhì)
阿基米德性質(zhì)(Archimedean property) 是實數(shù)系的重要性質(zhì)之一，指對任意正數(shù)及實數(shù) ，存在正整數(shù)，使，在幾何上這意味著，無論多長的線段，都能用有限條不管多短的等長線段覆蓋；也就是無論采用多短的線段作單位，都能在有限次內(nèi)把無論多長的線段量完。這個性質(zhì)是阿基米德(Archimedes)在其著作《論球與圓柱體》中明確提出的。
阿基米德性質(zhì)還有幾種等價形式：
1.對任意實數(shù)，存在正整數(shù)
2.對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使
3.若實數(shù)滿足以下條件：對任意正整數(shù)有，則
4.正整數(shù)集無上界。
拓?fù)湫再|(zhì)
實數(shù)集構(gòu)成一個度量空間，和間的距離定為絕對值。作為一個全序集，它也具有序拓?fù)洹崝?shù)的拓?fù)湫再|(zhì)為：
令為一實數(shù)。的鄰域是實數(shù)集中一個包括一段含有的線段的子集。
是可分空間。在中處處稠密。
的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。
的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個中的有界序列都有收斂子序列。
是連通且單連通的。
中的連通子集是線段、射線與本身。由此性質(zhì)可迅速導(dǎo)出中間值定理。
高級性質(zhì)
實數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實數(shù)的個數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數(shù)集的勢為，即自然數(shù)集的冪集的勢。
由于實數(shù)集中只有可數(shù)集個數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實數(shù)是超越數(shù)。實數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴(yán)格大于自然數(shù)集的勢且嚴(yán)格小于實數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。事實上這假設(shè)不能被證明是否正確，這是由于它和集合論的公理不相關(guān)。
所有非負(fù)實數(shù)的平方根屬于，但這對負(fù)數(shù)不成立。這表明上的序是由其代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的。而且，所有奇數(shù)次多項式至少有一個根屬于R。這兩個性質(zhì)使成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。
實數(shù)集擁有一個規(guī)范的測度，即勒貝格測度。
Lö；wenheim-Skolem定理說明，存在一個實數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數(shù)集自身完全相同的命題；超實數(shù)的集合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，但也同樣滿足和R一樣的一階邏輯命題。滿足和一樣的一階邏輯命題的有序域稱為的非標(biāo)準(zhǔn)模型。這就是非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究內(nèi)容，在非標(biāo)準(zhǔn)模型中證明一階邏輯命題（可能比在中證明要簡單一些），從而確定這些命題在中也成立。
應(yīng)用
數(shù)學(xué)領(lǐng)域
測量連續(xù)的量
實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的)。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后n位，n為正整數(shù)）。
非線性方程
實數(shù)的四則運算法則可以用來求解一次方程，以方程為例，其中是實變量的非線性實單值函數(shù)。滿足方程的實數(shù)，即使成立的實數(shù)稱為非線性方程的解。
集合論
實數(shù)通常使用集合論的恩斯特·策梅洛弗蘭克爾公理化來形式化，但一些數(shù)學(xué)家使用數(shù)學(xué)的其他邏輯基礎(chǔ)來研究實數(shù)。特別是，實數(shù)也在逆向數(shù)學(xué)和構(gòu)造性數(shù)學(xué)中進(jìn)行研究；在集合論，特別是描述性集合論中，貝爾空間被用作實數(shù)的替代，因為實數(shù)具有一些拓?fù)涮匦裕ㄟB通性），這在技術(shù)上帶來了不便。貝爾空間的元素被稱為“實數(shù)”。
生活領(lǐng)域
例：已知第一個立方體紙盒的棱長是7，第二個正方體紙盒的體積要比第一個紙盒的體積大169，試求第二個正方體紙盒的棱長。
解：由第一個正方體紙盒的棱長是7，可知其體積為343；由第二個正方體紙盒的體積要比第一個紙盒的體積大169，可知第二個紙盒的體積為512而可求出第二個正方體紙盒的棱長。
設(shè)：第二個立方體紙盒的棱長為，根據(jù)題意可得方程移項合并得。
因為是512的立方根，所以所以第二個正方體紙盒的棱長為8。
物理領(lǐng)域
在物理科學(xué)中，大多數(shù)物理常數(shù)（例如萬有引力常數(shù)）和物理變量（例如位置、質(zhì)量、速度和電荷）都是使用實數(shù)建模的。事實上，經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)、廣義相對論和標(biāo)準(zhǔn)模型等基本物理理論都是使用基于實數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（通常是光滑流形或希爾伯特空間）來描述的，盡管使用物理量得出的實際測量在準(zhǔn)確度和精密度上比較有限。
計算機(jī)領(lǐng)域
在計算機(jī)中，無法對任意實數(shù)進(jìn)行運算，因為有限計算機(jī)無法直接存儲無限多個數(shù)字或其他無限表示。它們通常也不對任意可定義的實數(shù)進(jìn)行運算，通常使用稱為浮點數(shù)的有限精度近似值。
參考資料 >
real number.Oxford Reference.2024-02-18
Computing numerically with functions instead of numbers" (PDF)..Mathematics in Computer Science.2024-02-18