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伯努利原理（Bernoulli's principle）是流體力學中的一條基本原理。即在理想條件下，同一流管的任何一個截面處，單位體積流體的動能、勢能和壓力勢能之和是一個常量，用方程表示為（為常量）。需要注意的是，由于伯努利方程是由機械能守恒推導出的，所以它并非適用于全部流體，僅適用于粘度可以忽略、不可被壓縮的理想流體。同時，伯努利方程也可由牛頓第二運動定律推導得到。伯努利原理僅適用于等熵[shāng]流。也可以應用于多種不同類型的流動，從而產生不同形式的伯努利方程。伯努利方程的簡單形式對于不可壓縮流（例如，大多數液體流和以低馬赫數移動的氣體）有效。

伯努利原理由瑞士流體物理學家丹尼爾·伯努利在1726年提出，其實質是理想流體的機械能守恒。在水流或氣流里，如果速度小，壓強就大；如果速度大，壓強就小。萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) 1752年在丹尼爾·伯努利基礎上推導出了伯努利方程的普遍形式，進一步奠定了流體力學的理論基礎。

伯努利原理在生活中有很多應用，如機翼升力、文丘里流量計、香蕉球、噴霧器等。

原理

可壓縮流體方程

由歐拉方程推導普遍的伯努利方程，適用于理想流體（無粘滯性的流體）的歐拉方程為：

（1）

其中，為流體所受單位質量的保守體積力。對定常流動，則有：

，，

于是式（1）為

討論同一條流線上各點的參量關系，用點積方程的兩邊得

化簡為

（為常量）（2）

其中為單位質量的勢函數。

可壓縮流動的熱力學方程

定義質量熵為單位質量的熵，理想流體絕熱方程表示為，

根據熱力學關系，其中為質量，定義為單位質量的焓。為溫度。又因絕熱，所以該式可簡化為，因此歐拉方程可寫為（3）

如果歐拉方程只考慮速度，則有

，則（3）式可寫成

因只是坐標的函數，故，則有。

因梯度在任意方向上的投影是該方向上的偏導數，故梯度投影是。

在重力場中，設重力方向作為z軸，z軸以上為正。那么和方向之間夾角的余弦等于導數，因此在上的投影為，因此有，則。

工程領域應用方程

如果是可壓縮理想氣體,并且流動過程中等熵，則由泊松（西莫恩·泊松）公式以及可得到。則，則可壓縮理想氣體在等熵定常流動過程中，沿流線的微分方程為，則。

不可壓縮流體方程

當流體不可壓縮，則為常數，式（2）變為，則

，適于理想流體（不存在摩擦阻力）。

推導

牛頓第二定律推導

首先忽略重力，并考慮直管中的收縮和膨脹，如文丘里效應所示。讓x軸沿著管道的軸向下。設某流體，通過橫截面積為的管道，流體長度為，體積為。密度為，則流體的質量為密度乘以體積，為。流速為

應用牛頓第二運動定律（力=質量×加速度），流體上的有效力為。如果壓力沿管道長度減小，則為負值，沿x軸方向流動的力為正值。

，，

在定常流動時，速度場相對于時間是恒定的。因此

在密度不變的情況下，伯努利方程是

垂直流線方向的加速度定律

考慮沿流線運動的微小流體質點[3]，其質量以表示，代表寬度，流體質點運動以速度向量表示，流線坐標可表示為與某參考點的距離s=s(t)及流線局部曲率半徑，沿著流線的坐標為s；垂直流線的坐標為 n。

在垂直流線的方向n上，由于存在向心加速度，故質點所受合力為：，其中為微小流體質點體積。而質點所受重力為：，其中

如圖所示的質點中央壓力為p ，垂直流線的兩端平均壓力分別為及，可用泰勒級數展開求壓力差異。

為質點于垂直方向上所受凈壓

故

因為沿著垂直流線方向，可得到垂直流線方向之運動方程

此式意味著，垂直于流線的壓力梯度及質點所受重力會改變流向，造成彎曲的流線。

若忽略重力的因素，即只考慮流體在水平面的流動，以龍卷風為例，

，會得到，這意味著，壓力隨著遠離曲率中心的距離而增大（n的正向，指向彎曲流線的內部），由于為正值，因此為負值，在龍卷風之外的壓力（典型的大氣壓力）遠大于中心處（低氣壓，可能會產生部分真空），而這些壓力差會被用于平衡曲率運動所需的向心力。

在s為定值的情況下，。沿n的方向積分可得

對于不可壓縮流，可得

由推導方程所需的基本假設：穩定、無黏性及不可壓縮流，可以得出跨過流線的運動方程為

沿著流線的運動方程為

在跨過流線的情形使用伯努力定律時，若流體位置發生旋轉或彎曲，就會因跨過流線的運動方程中所含的導致計算結果須修正。

托里切利定律

當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速度等于，其中為重力加速度，?為開口的中心和液體最高面的距離。這個速度剛好等于液體從離地?的地方以自由落體的方式下落時著地前的速度（但實際上因為有空氣阻力，所以實際情形一般不會以自由落體的方式下落）。

能量守恒定律推導

如圖所示，在作定常流動的理想流體中取任一根流管，用截面S1和S2截出一段流體。在時間間隔內左端的S1從位置a1移動b1，右端的S2從位置a2移到b2，令，則和分別是在同一時間間隔內流入和流出的流體體積，對于不可壓縮流體的定常流動，。因沒有黏滯，即沒有耗散，運用機械能守恒定律于這段流管內的流體。在b1到a2一段里雖然流體更換了，但由于流動是定常的，其運動狀態未變，從而動能和勢能都沒有改變。故考查能量的變化時只需計算兩端體元與之間的能量差。動能的變化量為

重力勢能的變化量

計算外力對這段流管內流體所作的功。設左端的壓強為p1，作用在S1上的力，外力作功為；右端壓強為p2，作用在S2上的力，外力作功為，故。由機械能守恒得，或者

因1、2是同一流管內的任意兩點，所以上式也可表達為沿同一流線

發現歷史

1912年秋天，當時世界上最大的輪船之一、遠洋貨輪“奧林匹克號”正在大海上航行。突然，一艘比它小得多的鐵甲巡洋艦“豪克號”從后面追了上來，在離“奧林匹克號”100m的地方幾乎跟它平行疾馳。就在這時，意外發生了，“豪克號”突然扭轉船頭朝“奧林匹克號”沖了過來，盡管“豪克號”的舵手盡力挽救仍無濟于事，因為此時舵已經來不及改變船的方向。“奧林匹克號”的船舷被“豪克號”撞了一個大洞。

在海事法庭審理這件奇案的時候，“奧林匹克號”的船長被判為有過失的一方，法院認為，這是因為船長沒有給橫著撞過來的“豪克號”發出任何避讓命令。船長雖然感到冤枉，但沒有辦法解釋，只好蒙冤受屈。案子就這樣結束了，但這件事情也引起了一些科學家的注意，他們認為這次事件一定事出有因。

早在1726年，丹尼爾·伯努利（1700-1782）就已經注意到，如果水沿著一條寬窄不一的溝（或粗細不均的管子）向前流動，水在溝較窄的部分就流得快些，但水流對溝壁的壓力比較小；反之，在較寬的部分水就流得較慢，對溝壁的壓力則會比較大。這一發現，后來被人們稱為伯努利原理。

這個原理雖然發現得較早，但一直不被人們重視。出現了“奧林匹克號”被撞事件后，一些科學家突然想到，用這一原理來解釋這次事故是非常合情合理的。于是，自此以后伯努利原理才漸漸得到了它應受的重視。這是一條普遍性的原理，它不僅對于流動的水是適用的，而且對于流動的其他液體甚至氣體也適用。

實驗演示

漏斗與球

用飲料瓶的上半部分制成漏斗，乒乓球放入漏斗中，廣口部分朝下。當對著瓶口吹氣時，我們發現乒乓球并沒有受重力作用落下，而是緊緊貼近瓶口的位置。這是因為吹氣時產生的氣流從乒乓球與瓶子的間隙中流過，速度越快，壓強就會越小。而漏斗外部的氣流速度較小，壓強大于漏斗內部。

乒乓球炮彈

本實驗用大功率電吹風作為風源，透明合成紙一張，乒乓球若干個。將透明塑料紙裹成直徑為稍大于乒乓球直徑的紙筒，將乒乓球放在一個盤子里，紙筒的下端靠近乒乓球，打開電吹風后，將電吹風沿著紙筒的上端吹氣，乒乓球會像“炮彈”一樣發射出來。因為當用吹風機吹紙筒上端的時候，上端空氣流速加快，壓強減小，下端壓強不變，在紙筒上下端壓強差的作用下，產生一股由下向上的氣流，紙筒下端的乒乓球也就隨著氣流從紙筒上端發射出來。

氣球風輪

將氣球吹大并系好，用點膠將氣球粘結成內一圈外一圈的一個圓形氣球環。先用一只手扶著氣球環，用鼓風機對著氣球環的一端吹氣，氣球環會懸浮在空中并且旋轉起來。因用吹風機在氣球斜下方吹氣時，氣流吹向氣球表面，氣流會隨著氣球的表面流動，氣球表面的流速會加快，壓力會減小，而外圍的空氣流速就會比較慢，壓力也就會比較大。而旋轉氣球附近空氣流速快，壓力小。形成了一個帶動圓形氣球環轉動起來的力矩，于是氣球環就可以在空中轉起來。

應用

機翼升力

飛機之所以能在空中飛行靠的就是飛行中一對機翼產生的升力。而飛機機翼一般都是上表面彎曲，下表面平坦，在飛機飛行過程中，機翼將迎面的風切割成了上下兩部分，在相同的時間里流過機翼上下表面空氣流走過相同位移但經過不同的路程，也就造成了機翼上、下表面空氣流速不同致使流過機翼下表面空氣速度小于流過機翼上表面空氣速度，機翼上下表面產生了向上的壓力差，所以飛機可以克服重力起飛并飛行。

關于機翼升力，還存在另一種解釋，即：空氣流過機翼上表面的路程比下表面長，因此在上表面要移動得快一些，才能使同時從前緣出發的氣團同時在后緣會合。于是，根據伯努利定理，上表面的壓力必然比下表面低，這種解釋是錯誤的。

文丘里流量計

文丘里流量計是測量流體壓差的一種裝置。它是一個先收縮而后逐漸擴大的管道。在收縮段的直管段截面1和截面2兩處，測量靜壓差和兩個截面的面積，并用伯努利方程即可計算出通過管道的流量。?需要注意的是，由于收縮段的能量損失要比擴張段小得多，所以不能用擴張段的壓強來計算流量，以免增大誤差。

香蕉球

踢“香蕉球”的時候，腳和羅尼·斯塔姆接觸的區域不是球的正中心，而是稍稍偏向一側，同時球員用腳背摩擦足球，使球在空氣中前進的同時還不斷地旋轉。這時，一方面空氣迎著球向后流動，另一方面，由于空氣與球之間的摩擦，球周圍的空氣又會被帶著一起旋轉．這樣，球的下方空氣的流動速度加快（流速大），上方空氣的流動速度減慢（流速小）。根據伯努利原理，由于足球兩側空氣的流動速度不一樣，它們對足球所產生的壓強也不一樣，于是，足球在空氣壓力的作用下，被迫向空氣流速大的一側轉彎了。