二項式定理（binomial theorem），又稱牛頓二項式定理，它描述了二項式(a+b)^n 的展開式，其中 n 是正整數(shù)。其表達式是：
。該定理給出兩個數(shù)之和的整數(shù)次冪展開為類似項之和的恒等式。二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理。其可以用數(shù)學歸納法和組合法來證明。
二項式定理最初用于開高次方，在阿拉伯，10世紀時阿爾·卡拉吉（Al-Karaji) 已經(jīng)知道二項式系數(shù)表的構造方法。11世紀中葉，賈憲在《釋鎖算書》中給出了“開方作法本源圖”，即為直到六次冪的二項式系數(shù)表。13世紀，楊輝在《詳解九章算法》中引用了此圖。1654年，法國的帕斯卡（B.Pascal）最早建立了正整數(shù)次冪的二項式定理。英國的艾薩克·牛頓（I.Newton）在1665年將二項式定理推廣到有理指數(shù)的情形。歐拉（18世紀）證明實指數(shù)情形。
二項式定理通常用于解決數(shù)學問題（整除性問題、共軛根式的乘方、數(shù)列極限問題、不等式證明、自然數(shù)冪求和的證明、組合恒等式的證明、多倍角恒等式的證明）、遺傳學的統(tǒng)計問題，包括分離定律計算、概率問題。
定義
組合數(shù)
組合數(shù)公式的定義為：從n個不同元素中任意去m（m≤n）個元素拼成一組，叫做從n個不同元素中取m個元素的一個組合，記作。其計算公式為
。
其中階乘的計算為：。
二項式定理
人們將下面公式所表示的定理，稱之為二項式定理。
=
其中叫做的二項展開式，它一共有項，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，式中叫做二項式展開式的通項，通常用表示，即通項為展開式的第項：
另外，在二項式定理中，如果設，，則得到：
注：二項式定理也可以寫成。
展開式性質(zhì)
?的二項展開式具有如下的性質(zhì)：
其中，含b的奇數(shù)次冪的系數(shù)為負，含b的偶數(shù)次冪的系數(shù)為正，其通項公式為：
（k=0，1，2，···，n）
簡史
二項式定理最初用于開高次方。在中國，《九章算術》（1世紀）提出了世界上最早的多位正整數(shù)開平方、開立方的一般程序。11世紀中葉，賈憲在《釋鎖算書》中給出了“開方作法本源圖”，滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次冪的二項式系數(shù)表。但是，賈憲并未給出二項式系數(shù)的一般公式，因而未能建立一般正整數(shù)次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在《詳解九章算法》中引用了“開方作法本源圖”，并注明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經(jīng)失傳，而楊輝的著作仍然流傳了下來，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。
其他國家，在阿拉伯，10世紀時阿爾·卡拉吉（Al-Karaji) ?已經(jīng)知道二項式系數(shù)表的構造方法： 每一列中的任一數(shù)等于上一列中同一行的數(shù)加上該數(shù)上面一數(shù)。11至12世紀期間，奧 馬·海牙姆（Omar Khayyam）將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。12世紀，波斯人卡拉吉（Al-Karaji） 描述了二項式系數(shù)的三角形模式，并使用早期形式的數(shù)學歸納法提供了二項式定理和帕斯卡三角形的數(shù)學證明。
13世紀，納綏爾丁（Nasir Eddin）在《算板與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式，并用到了二項式系數(shù)表。15世紀，阿爾·卡西（Al-Kashi）在《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，并給出了直到九次冪的二項式系數(shù)表，還給出了二項式系數(shù)表的兩種構造方法。?在歐洲，13世紀時德國的約丹努斯（N.de?Jordanus）在一本未出版的算術書中給出了一張二項式系數(shù)表，其形狀與賈憲三角一樣。16世紀，許多數(shù)學家的書中都載有二項式系數(shù)表。1654年，法國的帕斯卡（B.Pascal）最早建立了正整數(shù)次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英國的艾薩克·牛頓（I.Newton）將二項式定理推廣到有理指數(shù)的情形。18世紀，瑞士的歐拉和意大利的卡斯蒂隆（G.F.Castillon）分別采用待定系數(shù)法和“先異后同”的方法證明了實指數(shù)情形的二項式定理。
證明
數(shù)學歸納法
用數(shù)學歸納法證明n為任何正整數(shù)時以下等式成立。
證明：
（1）當時，左邊，右邊，所以左邊=右邊，等式成立。
（2）假設當時等式成立，即
那么，當時，上式兩邊都乘以，我們可以得到
所以，
即時等式也成立。
根據(jù)（1）和（2）可知，對于n為任意正整數(shù)時，都有：
組合法
二項式定理也可以寫作，要證明此等式成立。
證明：考慮乘積，
它展開后一共包含個求和項，每一項都是n個因子的乘積，而且每一項都包含因子和，，例如：
這個求和項中，含有個和個的每一項對應了從n個元素，，···里取個元素構成一組的取法，因此，一共有個這樣的項，這樣，令，可以看出：
矩陣形式的二項式定理
矩陣
矩陣的定義：由個數(shù)排成m行n列的數(shù)表
稱為m行n列的矩陣，簡稱矩陣。為表示它是一個整體，總是加一黑體字母表示它，記作
這個數(shù)稱為矩陣的元素，簡稱為元，數(shù)位于矩陣的第行第列，簡稱矩陣的元，以數(shù)為元的矩陣可簡記為或。矩陣也記作。
單位矩陣
單位矩陣是一個方陣，主對角線的每個元素（從左上角到右下角）都等于1，其他所有元素都等于0。例如，
這是一個3階單位矩陣（即是3行和3列），在不同引用中，單位矩陣可稱為，或。在矩陣乘法中，單位矩陣的作用類似于數(shù)字1，即如果是任意矩陣，是一個單位矩陣，那么。
可交換矩陣
對于某些特殊的矩陣可能有，此時稱是可交換的，兩個矩陣可交換的必要條件是它們?yōu)橥A方陣。
例如，設，求所有與A可交換的同階矩陣B。
解：設，由，即
得
即有
故所有與可交換的矩陣為，其中為任意實數(shù)。
矩陣的二項式定理
該公式為矩陣的二項式定理。
因為矩陣和是可交換的（即），所以二項式定理成立。
推廣
廣義二項式定理
引理
設x為任意實數(shù)，則有：。
證明：設，。
僅須證明。
首先，，由此可得；且即得
I
于是。由此可推出，于是成立。
廣義二項式定理
設x為任意實數(shù)，則恒有。
證明：由上面引理，令，則有
當指數(shù)為正數(shù)時，就是牛頓二項式定理：，。
當指數(shù)為負整數(shù)時，相應的就是負二項式定理：。
廣義升序階乘冪二項式定理
設為任意實數(shù)，為非負整數(shù)，則恒有
廣義降序階乘冪二項式定理
設為任意實數(shù)，為非負整數(shù)，則恒有：
相關概念
牛頓萊布尼茨公式
牛頓布萊尼茨公式
牛頓布萊尼茨公式定義為：設在區(qū)間上連續(xù)，且是它在該區(qū)間上的一個原函數(shù)，則有
高階導數(shù)
函數(shù)的導數(shù)仍是的函數(shù)，若倒數(shù)還可以對求導數(shù)，則稱的導數(shù)為的二階導數(shù)。記作
這時，也稱函數(shù)二階可導，按導數(shù)的定義，函數(shù)的二階導數(shù)應表示為
同樣，函數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的三階導數(shù)，記作
因此，階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的階導數(shù)，記作
二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。
高階導數(shù)萊布尼茨公式
高階導數(shù)萊布尼茨公式為：，該公式在形式上非常類似于“二項式定理”。但是兩個公式代表的數(shù)學意義截然不同：萊布尼茨公式是關于兩個函數(shù)之積的n階導數(shù)?，?二項式定理是關于兩個函數(shù)之和的n次冪。兩公式的相似性如下：
首先定義兩個簡單的數(shù)學算符：指數(shù)升冪算符和導數(shù)升階算符，兩個算符的定義如下：
升冪算符作用于ambn的效果為a因子對應的冪指數(shù)加1。類似地，升階算符作用于的效果為因子對應的求導階數(shù)加1。這里定義的算符均滿足交換律和分配律。
基于這兩個算符，可以將二項式定理和萊布尼茨公式的形式統(tǒng)一為
和
由此可知，無論是n次二項式定理還是n階萊布尼茨公式，均可視為將兩個算符(指數(shù)升冪算符或導數(shù)升階算符)之和連續(xù)左乘作用n?次的過程。
萊布尼茨公式的樹圖與二項式定理的樹圖非常相似，差別僅在于一個是求導數(shù)，另一個是求指數(shù)。兩公式樹圖如下：
泰勒公式
泰勒定理：如果函數(shù)在含點的某一區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直至（n+1）階倒數(shù)，則對（a，b）內(nèi)任意一點，在與之間至少存在一點，使得：
此公式稱為在點的n階泰勒公式。
設為任意實數(shù)
=x＞-1，在0到x之間。
當
=
這就成了牛頓二項式定理。
應用
解決數(shù)學問題
解整除性問題
觀察的展開式中的項前n項中都含有，唯最后一項不含，去掉最后一項后剩下的前項的和必是的倍數(shù)。（二項式系數(shù)必是正整數(shù)）。
例如：求證被整除（）。
證明：
=
=
上式項中的每一項都含有這個因子，所以被整除。
不等式證明問題
在二項式中，若a、b都是正數(shù)，則其展開式中的項都是正數(shù)，如果去掉若干項，則其和必小于，可用此方法可以巧解不等式證明中的一些問題。
例如：設、b為不等正數(shù)，，證不等式
證明：設，令，則，于是
上式括號中每一項都是正數(shù)，保留第一項，去掉后面的項的：
，即。
解共軛根式的乘方問題
共軛根式定義：如果一個不恒等于0的根式M與另一根式N的積MN是一個有理式，就稱M為N的共軛根式。由此可知如果M是N的共軛根式，那么N也是M的共軛根式，即共軛根式不是唯一的。如果P是有理式，則PM也是N 的共軛根式。
觀察兩個二項式和的展開式，易見它們的奇數(shù)項相同，偶數(shù)項相反。因此它們的奇數(shù)項之和相同，偶數(shù)項之和為相反數(shù)。我們可以應用這個規(guī)律來解決共軛根式的一些乘方問題。
例如：設，已知，求證。
證明：比較和的展開式
可見它們的奇數(shù)項都為有理項，偶數(shù)項都為無理項，它們的有理項的和相同，無理項的和為相反數(shù)。又且，所以。
解數(shù)列極限的問題
數(shù)列極限的定義：設數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對任意給定的，總存在正整數(shù)N，當時，恒成立，則稱數(shù)列以為極限，記為或。
數(shù)列極限的存在性有一個夾逼準則，若?，則，則，應用這個判別法求極限的關鍵在于建立不等式鏈，而建立不等式鏈有時是比較困難的，有時用構造二項式的方法來建立倒比較方便。
例如：設，求。
解：顯然，當時，，
令，，，
∴
=
∴，
∴，即，又，
∴
證明自然冪求和定理
自然數(shù)冪求和定理為：
證明：根據(jù)二項式定理，得
=，
依次令a=n，n-1，···3，2，1，且將諸式兩邊分別相加，得
=
即
證明組合恒等式
二項式系數(shù)是證明和推導組合恒等式最有效的工具之一。
例如：求證：對任意正整數(shù)，有
證明：由得到
=
=
=
遺傳學方面
在生物學方面，利用二項式定理展開式或通項公式，可以推測某些生物體自交、雜交產(chǎn)生后代群體中的基因型或表現(xiàn)型的分布情況。人類后代性別的分布情況，處于平衡狀態(tài)群體中的各種基因或基因型的頻率問題，生物體測交后代的各種表現(xiàn)型等等，都可以采用二項式定理展開式或通項公式來分析。
例如： 已知兩對等位基因均為完全顯性，基因型為AaBb的個體自交，說出后代F1中個體的基因結構。
解析：在完全顯性的情況下，由遺傳學分離定律可知，每一對雜合基因在形成配子時，顯性基因A或B出現(xiàn)的概率為1/2，隱性基因a或b出現(xiàn)的概率為1/2。基因型為AaBb的個體自交后，產(chǎn)生的個體F1遺傳上一代的基因有多種可能，但每個個體的基因型由兩對基因組成，每對含兩個等位基因，共四個等位基因，四個等位基因組合時相當于獨立的重復事件。所以該題所求概率是指“每個個體的基因型由兩對基因組成，每對含兩個等位基因，共四個等位基因”這一可獨立重復試驗發(fā)生的概率。取n=4（n=4為等位基因組合數(shù)，p=1/2為顯性基因概率，q=1/2為隱性基因概率）。
由二項式定理展開式可得：
=
=
=
通過上式可以看出，上一代的基因遺傳給下一代以后，基因結合的概率和基因結構分別為：
4個顯性基因和0個隱性基因結合在一起的概率=，指1個個體（AABB）。
3個顯性基因和1個隱性基因結合在一起的概率=，指4個個體（AABb、AaBB）。
2個顯性基因和2個隱性基因結合在一起的概率=，指6個個體（AaBb、AAbb、aaBB）。
基因型為1個顯性基因和3個隱性基因結合在一起的概率=，指4個個體（Aabb、aaBb）。
0個顯性基因和4個隱性基因結合在一起的概率=，指1個個體（aabb）。
概率論
概率論的定義為：隨機事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值）叫做隨機事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。
概率加法法則：設將某一事件A表示為若干互斥方案（）。這時，事件A的概率等于事件A1，A2，···，As的概率之和為。
概率乘法法則：由若干簡單獨立事件重合所組成的一個復雜事件的概率，等于這些事件的概率的乘積。
在概率加法法則和乘法法則的基礎上，可以推導出重復試驗時，事件A發(fā)生一定次數(shù)的概率計算公式，這個公式稱為二項分布法則。
設進行n次實驗，其中每次實驗時事件A的概率不變，并等于p，則這時事件A恰發(fā)生m次（0≤m≤n）的概率等于
此公式的右邊就是牛頓二項式展開的一般項，其中，這就是事件A發(fā)生的概率。
二項分布也可以用來分析股票市場的實際問題。在分析股票時，某月內(nèi)股票的回報如果為正，則稱其為成功；為負或持平時就稱其為失敗。
例如：美國證券分析師對1957年至1977年美國AT&T公司股票價格的研究表明，對每月都進行分析以確定成功出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)56.7%的情況下，結果都是成功的。?將分析的數(shù)據(jù)按每3個月(季度)?一?組列出，研究人員發(fā)現(xiàn)實際成功的頻率如下：
在?AT&T的例子中，利用二項式表格之前需要了解的數(shù)據(jù)是：r=成功可能次數(shù)=0～3；n=試驗次數(shù)=3（一季度內(nèi)3個月）；p=成功概率=56.7%。
利用這些數(shù)據(jù)，從二項式表中得出的期望結果應是：成功期望頻率分別為：0.082、10.318、20.416、30.184、1.000。研究表明，二項式的分布和AT&T的實際情況相當接近。在已知假設的成功概率（p）后，每一季度內(nèi)賺錢月份的情況就可以從二項式表中得到。因此，二項式分布對負責投資組合的基金管理者、公司負責銷售的董事和研究人員分析項目概率確有實用價值。
參考資料 >
w3schools.blog.History Of Binomial Theorem.2023-11-12