初等代數(shù)中，二項(xiàng)式是只有兩項(xiàng)的多項(xiàng)式，即兩個(gè)單項(xiàng)式的和。
二項(xiàng)式是僅次于單項(xiàng)式的最簡(jiǎn)單多項(xiàng)式。
運(yùn)算法則
與因子相乘
二項(xiàng)式與因子c的乘法可以根據(jù)分配律計(jì)算：
兩二項(xiàng)式相乘
兩個(gè)二項(xiàng)式與的乘法可以通過(guò)兩次分配律得到：兩個(gè)線性二項(xiàng)式與的乘積為：
二項(xiàng)式平方
二項(xiàng)式的平方為
二項(xiàng)式的平方為
二項(xiàng)式的冪
的二項(xiàng)式的n次冪可以用二項(xiàng)式定理或者等價(jià)的楊輝三角形展開(kāi)，展開(kāi)式系數(shù)呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，奇數(shù)項(xiàng)時(shí)中間兩項(xiàng)系數(shù)最大且相等。
二項(xiàng)式因式分解
二項(xiàng)式可以因式分解為另外兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積：
二項(xiàng)式的遞推
二項(xiàng)式展開(kāi)后各項(xiàng)的系數(shù)為推廣公式，其中，第1個(gè)數(shù)，從第2個(gè)數(shù)開(kāi)始，后面的每一個(gè)數(shù)都可以用前面的那個(gè)數(shù)表示
這就是二項(xiàng)式展開(kāi)“系數(shù)遞推”的依據(jù).二項(xiàng)式系數(shù)遞推實(shí)際上是組合數(shù)由到的遞推。
形式
線性形式
如果二項(xiàng)式的形式為（其中a與b是常數(shù)，x是變量），那么這個(gè)二項(xiàng)式是線性的。
復(fù)數(shù)形式
復(fù)數(shù)是形式為的二項(xiàng)式，其中i是的平方根。
定理
binomialtheorem
二項(xiàng)式定理，又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。此定理指出：（其中）其中，二項(xiàng)式系數(shù)指,等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做二項(xiàng)展開(kāi)式。二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,其i項(xiàng)系數(shù)可表示為n取i的組合數(shù)目。
組合數(shù)
1、
2、
3、
證明：由可得
當(dāng)時(shí)，代入二項(xiàng)式定理可證明1
當(dāng)時(shí)代入二項(xiàng)式定理可證明2
4.組合數(shù)的性質(zhì)：
（1）
（2）
（3）
系數(shù)性質(zhì)
①對(duì)稱(chēng)性
②增減性和最大值：先增后減
n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為
n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為,
賦值法
掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問(wèn)題的思想.
證明：n個(gè)相乘，是從中取一個(gè)字母a或b的積。所以的展開(kāi)式中每一項(xiàng)都是的形式。對(duì)于每一個(gè)，是由k個(gè)選了a,a的系數(shù)為n個(gè)中取k個(gè)的組合數(shù)（就是那個(gè)C右上角一個(gè)數(shù)，右下角一個(gè)數(shù)）,個(gè)選了b得到的（b的系數(shù)同理）。由此得到二項(xiàng)式定理。
而且展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于
二項(xiàng)式定理的推廣：
二項(xiàng)式定理推廣到指數(shù)為非自然數(shù)的情況：
形式為.
數(shù)形趣遇
二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué).求二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問(wèn)題.用系數(shù)通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，稱(chēng)為“式算”；用楊輝三角形來(lái)計(jì)算，稱(chēng)作“圖算”.
【圖算】常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在展開(kāi)后的第5、6兩項(xiàng).用“錯(cuò)位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個(gè)數(shù).簡(jiǎn)圖如下：
圖上得到.
故求得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為
【點(diǎn)評(píng)】“式算”與“圖算”趣遇，各揚(yáng)所長(zhǎng)，各補(bǔ)所短.
楊輝三角形本來(lái)就是二項(xiàng)式展開(kāi)式的算圖.對(duì)楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
那么他可以心算不動(dòng)筆，對(duì)本題做到一望而答.
楊輝三角形在3年內(nèi)考了5個(gè)（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強(qiáng)調(diào)“多想少算”、“邏輯思維與直覺(jué)思維并重”的結(jié)果.這5個(gè)考題都與二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)相關(guān)，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進(jìn)行深層次地滲透.
利用二項(xiàng)式推出牛頓切線法開(kāi)方
開(kāi)立方公式：
設(shè),求X.稱(chēng)為開(kāi)立方。開(kāi)立方有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的公式：例如，，即求5介于1的3次方；至2的3次方；之間（，）
初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們?nèi)“凑展剑?/p>
第一步：
即，，，。
即取2位數(shù)值，即1.7。
第二步：
即，，，。
取3位數(shù)，比前面多取一位數(shù)。
第三步：
第四步：
這種方法可以自動(dòng)調(diào)節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計(jì)算出來(lái)以后輸出值會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動(dòng)轉(zhuǎn)大。即;當(dāng)然初始值也可以取1.1，1.2，1.3，...1.8，1.9中的任何一個(gè)，都是。當(dāng)然，我們?cè)趯?shí)際中初始值采用中間值，即1.5。
如果用這個(gè)公式開(kāi)平方，只需將3改成2，2改成1。即
例如，：5介于2的平方至3的平方之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們?nèi)≈虚g值2.5。
第一步：
即，
取2位數(shù)2.2。
第二步：
即。
取3位數(shù)。
第三步：
即.
每一步多取一位數(shù)。這個(gè)方法又叫反饋開(kāi)方，即使你輸入一個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值，也沒(méi)有關(guān)系，輸出值會(huì)自動(dòng)調(diào)節(jié)，接近準(zhǔn)確值。
展開(kāi)。
帶入公式就是開(kāi)方公式。即牛頓切線法就是在開(kāi)方過(guò)程中把牛頓二項(xiàng)式定理轉(zhuǎn)換成為牛頓切線法。
二項(xiàng)式定理的證明采用數(shù)學(xué)歸納法可行。
參考資料 >