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規范場（gauge field），是一個描述時空、物質生成及其相互作用的數學框架，通過統一和自洽的方式解釋自然界的基本物理現象（如電磁力、弱力和強力）。

阿爾伯特·愛因斯坦之后，越來越多的物理學家在追求統一的理論——基本粒子與基本作用的統一。愛因斯坦試圖用統一場論來實現這種統一。后來人們常說的“大統一”“統一場論”有不同的含義。起初指電磁場和引力場的統一。愛因斯坦于1920年3月3日在致馬克斯·玻恩的信中說，他已經用相對論的觀點來思考量子理論的問題，他想用連續性和因果性推導出奧格·玻爾的量子條件，但未成功。他在1920年的《以太和相對論》一文中說：“量子論所概括的事實有可能會給場論設下無法逾越的界限?！?0世紀30年代初，恩里科·費米提出弱相互作用的看法，1935年湯川秀樹提出強相互作用的猜想。所以物理學家就開始追求電磁作用、強作用和弱作用的統一。1954年楊振寧和賴特·米爾斯提出了規范場理論。1971年荷蘭的20多歲的研究生霍夫特證明，規范場是一種關于粒子相互作用的理論。楊振寧于1995年因規范場理論獲美國鮑爾科學成就獎。

規范場可以看作是詹姆斯·麥克斯韋電磁場的推廣。同規范場相對應的粒子是規范粒子，它們都是相互作用的媒介粒子。弱作用和強作用也是由交換某種量子引起的，也就是說，粒子之間的相互作用都以一定的粒子為媒介。從規范場的角度來看，弱作用由交換中間向量玻色子引起，強作用由交換膠子引起。規范場與纖維叢具有密切的關聯，二者雖源于不同的學科領域，卻殊途同歸、同氣連枝。規范場可以看作是纖維叢上的一個聯絡，用于描述纖維叢上的平行移動；而纖維叢上的結構群作用就是一個規范變換。規范場論對科學的影響是深遠的，它不僅推動了物理學的發展，也為其他領域如數學、信息科學、經濟學和哲學提供了新的思想和方法。2020年11月19日，題目為“Observation of gauge invariance in a 71-site Bose-Hubbard quantum simulator（在71格點薩特延德拉·玻色哈伯德量子模擬器中觀測到規范不變性）”的論文發表于《自然》（Nature）雜志，該內容是中國科學技術大學潘建偉、苑震生等與德國海德堡大學、特蘭托大學的合作者在71格點的光晶格量子模擬器中成功實現了對量子電動力學中方程的模擬，首次使用微觀量子調控手段在量子多體系統中驗證了描述電荷與電場關系的高斯定律。2021年3月，中國科學院院士、中國科學技術大學教授郭光燦團隊的董春華研究組打破以往需多個微腔構建人工規范場的常規，利用回音壁模式微腔的多模相互作用實現突破。2025年9月，中國科學技術大學潘建偉、苑震生團隊搭建可編程光學超晶格量子模擬平臺，把格點施溫格模型映射至光晶格超冷原子的玻色 - 哈伯德模型，通過精確控制原子之間的相互作用，實現對系統初態的可控制備和多參數演化。

名詞定義

規范場論，是一個描述時空、物質生成及其相互作用的數學框架，通過統一和自洽的方式解釋自然界的基本物理現象（如電磁力、弱力和強力）。規范場與纖維叢具有密切的關聯，二者雖源于不同的學科領域，卻殊途同歸、同氣連枝。規范場可以看作是纖維叢上的一個聯絡，用于描述纖維叢上的平行移動；而纖維叢上的結構群作用就是一個規范變換。規范場論對科學的影響是深遠的，它不僅推動了物理學的發展，也為其他領域如數學、信息科學、經濟學和哲學提供了新的思想和方法。

起源與發展

起源

規范場概念源于人們對時空和運動本質的思考。規范場譯自英文“gauge field”，而gauge本意為“測量”，可知規范場是與（時空）度量相關的概念。簡單來說，規范場的引入是為了使一個物理系統的某一作用量在不同的變換下保持不變。為了理解其背后的深刻內涵，要先從“對稱性”說起。對稱性包括全局對稱性與局域對稱性。

阿爾伯特·愛因斯坦之后，越來越多的物理學家在追求統一的理論——基本粒子與基本作用的統一。愛因斯坦試圖用統一場論來實現這種統一。后來人們常說的“大統一”“統一場論”有不同的含義。起初指電磁場和引力場的統一。20世紀30年代初，恩里科·費米提出弱相互作用的看法，1935年湯川秀樹提出強相互作用的猜想。所以物理學家就開始追求電磁作用、強作用和弱作用的統一。1958年海森伯格提出了把所有場統一起來的目標，但沒有成功。如果這個目標達到了，那阿爾伯特·愛因斯坦的“從科學的統一理論基礎推導出所有自然科學知識”的夢想就會實現。這種統一理論就被許多科學家理解為包羅萬物的終極理論，追求統一和追求終極就聯系起來了。

愛因斯坦于1920年3月3日在致馬克斯·玻恩的信中說，他已經用相對論的觀點來思考量子理論的問題，他想用連續性和因果性推導出奧格·玻爾的量子條件，但未成功。他在1920年的《以太和相對論》一文中說：“量子論所概括的事實有可能會給場論設下無法逾越的界限。”

他說，量子理論與相對論“兩者在一定意義上都被認為是正確的，雖然迄今為止想把它們融合起來的一切努力都遇到了抵制。這也許就是當代理論物理學家中，對于未來物理學的理論基礎將是怎樣的這個問題存在著完全不同意見的原因”。后來他在量子力學詮釋方面，同哥本哈根學派展開了長時間的爭論。這場爭論說明很難把廣義相對論和量子力學統一起來。宏觀領域可以不考慮強作用和弱作用，微觀領域可以不考慮引力作用。二者在一系列基本問題上立場相悖，如實在與觀測的關系、是連續性還是間斷性、是物質運動方程還是幾率運動方程、定域性原則是否具有普遍性等等。格林說：“現代物理學所依賴的是兩大支柱。一個是阿爾伯特·愛因斯坦的相對論，它為我們從大尺度認識宇宙（如恒星、星系、星系團以及比它們更大的宇宙自身的膨脹）提供了理論框架；另一個是量子力學，我們用這個框架認識了小尺度下的宇宙：分子、原子以及比原子更小的粒子，如電子和夸克。幾十年來，兩個理論的差不多所有預言都在實驗上被物理學家以難以想象的精度證實了。但同樣的這兩個理論工具，卻無情地把我們引向一個痛苦的結論：從廣義相對論和量子力學今天的形式看，它們不可能都是正確的。在過去的百年里，我們獲得了巨大的進步——解釋了宇宙的膨脹，也認識了物質的基本結構——然而，作為這些進步的基礎的兩個理論，卻是水火不相容的?！雹圻@兩大理論在各自的領域都是正確的，但二者的統一的確遇到了很大的困難。

追求統一是當代物理學的主流，場論與弦論是兩類基本理論，量子場論、弦理論、量子宇宙學是主要成果。一些科學家試圖用場來描述粒子及其相互作用。在這方面，已有詹姆斯·麥克斯韋電磁場理論、亨德里克·洛倫茲的電子理論、阿爾伯特·愛因斯坦的引力場理論。考慮量子效應的場論是量子場論。20世紀40年代，經典的電磁理論、電子理論開始同量子力學相結合，出現了量子電動力學。1949年理查德·費曼把狹義相對論和量子力學統一起來，指出兩個電子碰撞時交換光子。量子電動力學是量子場論的一個分支。

發展

全局對稱性是指一個系統的狀態在某種變換下不變，這種變換不依賴于時空坐標。當對整個系統施加該變換（如旋轉、平移）時，其物理性質保持不變，即系統的拉格朗日量（描述系統動力學的量）不發生改變。例如，在一個具有全局對稱性的粒子系統中，將所有粒子的電荷同時改變一個固定的相位，物理定律仍然保持不變。局域對稱性則是指在依賴于時空坐標的變換下系統的狀態保持不變，即當對系統的某個局域施加某種變換時，整個系統的物理性質保持不變。這意味著不同位置或不同時間的變換可以是不同的。例如，在電磁理論中，在空間的不同位置獨立地改變電荷的相位，整個電磁理論仍然保持不變。規范對稱性是為了在某種程度上保證自然法則的“公正性”的一種局域對稱性，通過引入規范場（滿足局域對稱性的場），每一個時空點都可以進行變換而不改變物理規律。

規范場存在的本質是系統具有“冗余”性（即規范冗余，或規范不確定性）。冗余是規范場論中一個非常重要的概念。如前所述，規范對稱性表明對一個系統施加某個局域規范變換，并不改變該系統的物理性質。這意味著存在多種不同的方式來描述同一個物理系統，每一種描述實際上都代表著同一種物理現象，這種現象即稱為“冗余”。冗余并不是我們常說的“多余”或者“無用”，而是系統的一個基本特性。實際上，正是這種冗余能夠引入規范場，從而描述物質間的相互作用。描述物理狀態所需的最少參數數目稱為“自由度”。引入規范場的目的就是盡可能地消除冗余，以得到真正的自由度，進而確定可觀測的物理量。例如，在電磁理論中，可以選擇許多不同的規范來描述電磁場，如亨德里克·洛倫茲規范或庫侖規范。不同的規范給出的電磁場看起來可能完全不同，但實際上描述的是同一物理現象。規范冗余是規范場論的一個核心特性，它源自規范對稱性，是描述和理解相互作用的關鍵所在。

最早的規范場論是電磁理論，麥克斯韋方程組實質上就是一種規范場論的表達形式。但真正的規范場概念是在相對論被發現之后才誕生的。狹義相對論和廣義相對論分別使我們重新認識了電磁場和引力場。在相對論思想的啟發下，20世紀20年代，赫爾曼·外爾試圖將電磁力與引力統一起來。借鑒廣義相對論中時空距離隨時空位置而變的思想，來尋找電磁力與引力背后共同的規范對稱性，最終提出了基于阿貝爾群的局域規范不變性原理。之后經過沃爾夫岡·泡利、內山菱友等人的發展，楊振寧和賴特·米爾斯于1954年提出了楊-米爾斯理論。楊-米爾斯理論是一種基于非阿貝爾群的更通用的規范場論，最初是為了解釋原子核內粒子間的同位旋作用，其核心是楊-米爾斯方程。楊-米爾斯理論是粒子物理標準模型的理論基礎，與電弱理論和量子色動力學相結合，構成了對自然界除引力外的三種基本力的統一描述。1956年，楊振寧與李政道提出宇稱守恒定律不適用于弱相互作用，被吳健雄的實驗所證實，因此獲得次年的諾貝爾獎。格拉肖、溫伯格、薩納姆三位物理學家把弱相互作用和電磁相互作用統一在了GWS弱電理論下，并因此獲得了1979年的諾貝爾物理學獎；后來，標準模型又把強相互作用包括進來，自此三大工種被統一到了一個框架下。

1995年，規范場理論獲美國鮑爾科學成就獎，是榮獲該獎的第一位物理學家。有幾位物理學家因為成功地運用了規范場理論，而獲得諾貝爾獎。如1984年魯比亞和凡德米爾因發現W?和Z?粒子而獲諾貝爾獎，這些粒子其實均是規范粒子（楊-米爾斯類的粒子）。所以很多人都認為楊振寧的規范場論也應獲諾貝爾獎。此外還有楊振寧-巴克斯特方程，以及他在統計力學、凝聚態物理學等方面的成就，使他成為一代科學大師。他在芝加哥大學學習時，本想作一篇實驗論文，可是他后來說他動手能力不行，當時實驗室有句話說：“凡是有爆炸的地方一定有楊振寧。”他從此致力于理論物理研究。在普林斯頓大學研究所期間，阿爾伯特·愛因斯坦曾找他談統計力學問題。丁肇中在《楊振寧小傳》中說：“國人在國際科學壇上有建立不朽之功績者，乃至楊振寧始。”“楊教授為人耿直，教誨不倦。聰敏過人而治學嚴謹。年逾耳順而精神蓬勃，是年輕人無上的榜樣?！?a href="/hebeideji/7161273385044262926.html">楊振寧著《基本粒子及其相互作用》一書的扉頁上印有一段文字：“楊振寧教授是20世紀最偉大的物理學家之一，他是炎黃子孫的驕傲，億萬華人的楷模。他的科學思想、人文精神，以及睿智而深沉的思考，已成為中華文化寶庫中的一部分。”

規范場理論

規范場可以看作是詹姆斯·麥克斯韋電磁場的推廣。同規范場相對應的粒子是規范粒子，它們都是相互作用的媒介粒子。弱作用和強作用也是由交換某種量子引起的，也就是說，粒子之間的相互作用都以一定的粒子為媒介。從規范場的角度來看，弱作用由交換中間向量玻色子引起，強作用由交換膠子引起。1971年荷蘭的20多歲的研究生霍夫特證明，規范場是一種關于粒子相互作用的理論?？梢杂靡幏秷鰜砻枋鲞@些粒子及其相互作用，相對論中的引力場、量子電動力學中的電磁場、量子色動力學中的膠子場、量子味動力學中的光子場、中間矢量玻色子場都可以看作是規范場的不同形式。楊振寧說：“最后的粒子是什么，基本力量是什么，這就是基本物理學研究的主要內容?！薄八姆N力和它們的能都是規范場，這是近三十年來的一項基本了解?！?/p>

在楊-米爾斯理論的基礎上，科學家建立了標準模型。加來道雄說：“今天，楊-米爾斯場已經使建立一種關于所有物質的無所不包理論成為可能。事實上，我們如此堅信這一理論，以至于滿不在乎地稱它為標準模型?！?a href="/hebeideji/7185432213679587328.html">丁肇中則稱規范場理論“是一個劃時代的創作，不但成為今日理論的基石，并且在相對論上及在純粹數學上也有重大的意義”。

規范場理論是非線性的量子場論。量子場論是研究基本粒子及其相互作用的主要理論工具。各種粒子都具有特殊的場（電場、質子場、介子場等），量子場的激發和退激是粒子產生和消失的過程。量子場的基態（能量最低狀態）是真空。真空是物質的一種特殊形態。真空中有各種虛粒子，并同實粒子相互轉化。各種量子場在真空中不停地振蕩。由于相互作用，虛粒子不斷產生、消失、轉化。真空是各種虛粒子組成的波濤起伏的海洋。有人認為量子場論中的真空頗像我國古代元氣說中的氣。量子場論在計算低近似下的電磁作用與弱作用同時實驗相當吻合，但在作高級近似時卻遇到計算中出現無窮大的發散困難。20世紀40年代以后，出現了重整化方法，即按一定法則把導致無窮大的因子提出，用質量、電荷等實驗觀測值取代，克服了發散的困難。

后來楊振寧發現規范場的方程同陳省身的纖維叢理論有密切關系，表明規范場也可以幾何化。雖然在楊振寧看來量子場論同阿爾伯特·愛因斯坦的統一場論不是一回事，但他說：“盡管愛因斯坦的嘗試沒有得到成功，盡管愛因斯坦統一場的嘗試受到許多說出來的或沒有說出來的批評，也盡管有些人說愛因斯坦的工作完全是枉費心機，但愛因斯坦仍堅持他的基本觀念，即物理學的偉大目標，是場的理論的統一。”他認為20世紀60年代溫伯格、薩拉姆和格拉肖提出的弱電統一理論表明這一目標已部分實現。

規范場分析

下面運用初等數學和微積分知識，通過求解函數變換中的導數協變問題來理解規范場的概念。

設有一個物理量，用函數表示，另有一函數與之相乘，將該物理量變換為中的符號不是數學中的求導符號，此處用于表示變換后的函數）。為研究該物理量的變化，通常要對其求導。為討論方便，定義導數符號，則，。根據求導法則，將展開：

一般情況下，，或者說，偏導數不是“協變”的（除非為常數，即。為了使系統保持規范對稱性，即對變換后，新物理量的導數能夠表示為乘以原函數的導數：（即物理量及其導數都以同樣的規律進行變換）。此處考慮引入變量A，并定義一個新的偏導數符號，則。和A變換后分別記為，。為了確定，將展開：

為了使導數在函數變換后保持同樣的變換形式（協變），即，變換后的應滿足：。

由此可知，所引入的變量A在變換過程中起到了一定的“規范”作用，在場論中被稱為“規范場”，而即為“協變導數”。

建立模型

基于規范理論，物理學家建立了標準模型，可以很好地描述組成物質世界的基本粒子及其之間的強、弱、電磁相互作用。而規范不變性作為“理論背后的理論”，是構造規范理論的基本原理。

中國科學技術大學潘建偉、苑震生等與德國海德堡大學、特蘭托大學的合作者在超冷原子量子計算和模擬領域取得重要突破：在71格點的光晶格量子模擬器中成功實現了對量子電動力學中方程的模擬，首次使用微觀量子調控手段在量子多體系統中驗證了描述電荷與電場關系的高斯定律。此工作提供了一種新方式，利用實驗上高度可控的規?；孔幽M器來探究基礎物理的規范對稱性。題目為“Observation of gauge invariance in a 71-site Bose-Hubbard quantum simulator（在71格點薩特延德拉·玻色哈伯德量子模擬器中觀測到規范不變性）”的論文于北京時間2020年11月19日發表于《自然》（Nature）雜志。

至此，潘建偉教授領導的研究團隊在使用超冷原子產生大規模量子糾纏態進行量子計算、構建拓撲量子計算系統、模擬凝聚態超流模型、模擬人工規范場、開展超冷化學研究等方面取得了豐碩的原創科研成果，已在Nature(1)、Science(3)、Nature Physics(5)和PRL(8)上發表論文17篇，成為國際上超冷原子量子計算和量子模擬領域的領跑團隊之一。

當量子模擬遇上規范場

既然規范場理論在物理學大廈中扮演如此重要的地位，科學家們也就一直想通過計算機來求解動力學規范理論，但是規范場方程求解的計算復雜度非常高，即便是經典的超級計算機，也面臨著巨大的困難，而量子模擬（計算）具有與經典計算不同的運行模式，在復雜問題求解上已經展現出誘人的前景?！白匀徊皇墙浀涞?，如果你想對自然進行模擬，那么你最好把計算機給量子化?！痹缭?982年，著名物理學家理查德·費曼就提出了利用一個可控的人造量子系統來模擬另一個我們感興趣的現實的復雜量子體系的原始想法。隨著最近幾十年技術的發展，人們可以對越來越大的量子體系實現每個原子、分子等的精細操控，量子模擬不斷取得突破，在量子多體問題、高溫超導、量子化學、原子分子物理以及基礎物理等領域已經發揮了重要作用。

針對規范理論動力學的量子模擬，研究人員也已經在陷俘離子、超導量子比特、冷原子等不同物理體系中開展了一些理論和實驗工作。相較于對凝聚態物理、材料結構、化學反應的量子模擬，無論理論上還是實驗上，模擬規范理論都具有更大的困難，這主要體現在：規范理論既包含描述基本粒子的費米子場，也包含傳遞相互作用的規范玻色子場，必須實現對這兩種自由度的模擬；為了保證因果結構，必須在低能、非相對論性的多體量子體系中實現相對論性的洛倫茨不變性；同時還必須實現局域的規范不變性的模擬，這是“規范荷”守恒和相互作用性質的要求，例如在量子電動力學中，需要保證電荷守恒和高斯定律。

在超冷原子體系中模擬規范不變性

量子電動力學、量子色動力學等規范理論是時空連續的，因此對其進行非微擾處理時會遇到無限維路徑積分的計算，這使得問題變得棘手。而格點規范理論（Lattice Gauge Theories，LGT）將時空離散化，即以有限的格點上的物理量來替代連續時空中的場，格點通過鏈路（link）相連。通常，費米場（物質場）被定義在格點上，而玻色場（傳遞相互作用）被定義在鏈路上。通過把四維歐幾里得時空離散化，路徑積分變成了有限維，方便使用蒙特卡洛等模擬方法對問題進行數值求解。格點規范理論是處理量子場論最有效的非微擾方法之一，同時與連續的規范理論相比，也更適合于用光晶格體系對其進行量子模擬。

量子鏈路模型（Quantum Link Models，QLMs）的表述形式很好地把握住了量子電動力學的核心特征，且特別適合光晶格體系對規范理論的模擬。采用格點鏈路Schwinger模型，物質場、規范場及其相互作用被變換為實驗中的粒子數產生、湮滅算符。

規范場應用

規范場不是虛無的，是實實在在的物理存在。一個最常見的規范場例子就是電磁場。對照前面的函數變換，f（x）=ψ（x）為電子的波函數，變換函數表示對波函數進行相位變換（即基于U（1）群的旋轉變換，θ（x）為相位角）。注意這里引入了復數，因此在A前面乘以一個虛數i，設，通過計算可知A′=A-dθ（x）。由此引入的規范場A即為“電磁場”，電磁場的振蕩即為“光子”。

規范場論是標準模型的理論框架。標準模型是規范場論在粒子物理學中的具體應用，以李群為規范群，用于描述基本粒子及其相互作用，包括描述電磁力的量子電動力學、描述弱力的弱電理論及描述強力的量子色動力學。這些理論都是基于規范對稱性的，統稱為“大統一理論”。規范對稱性決定了相互作用的類型和性質，以及對應的規范粒子（玻色子）。例如：在量子電動力學中，U（1）群的生成元只有1個，產生的規范粒子為光子；在弱電理論中，SU（2）群的生成元為3個，產生的規范粒子為W+、W-和Z玻色子；在量子色動力學中，SU（3）群的生成元為8個，產生的規范粒子為膠子。

波蘭數學家特勞特曼和美國物理學家盧斯首先注意到規范場和纖維叢之間的關聯，最早使用纖維叢上的聯絡來理解規范場。楊振寧和吳大俊進一步明確了規范場的幾何與拓撲意義，建立了規范場與纖維叢的對應關系（表1）[6]，隨后逐漸引起數學家和物理學家的重視，在當代數學和物理學中產生了深遠的影響。

信息科學領域

規范場論在信息科學應用中受到廣泛關注，尤其在機器學習領域，大數據處理方法與規范對稱性密切相關。例如，圖神經網絡是一種用于處理圖形數據的深度學習技術，圖的節點在空間中任意排列而不改變圖的性質，這就是一種規范對稱性。在諸多優化問題和機器學習算法中（如線性回歸、最小二乘法等）常用到矩陣的贗反性質。贗反矩陣在左乘或右乘原矩陣后，會得到單位矩陣，這與規范理論中的規范變換具有某種相似性。此外，在深度學習中，等變性和不變性是非常重要的概念，用于保持神經網絡對輸入數據的某些變化（如旋轉、縮放或平移）的敏感性或不敏感性，這與規范場論中的規范不變性直接相關。

經濟學和金融領域

規范場論在經濟學和金融領域中也有重要的應用。同物理學中粒子間的相互作用類似，在經濟學中同樣需要研究個人、單位、政府、市場、資源、貨幣等多元素之間的相互作用。規范場論和經濟學都依賴于基于規范對稱性的數學模型來理解和預測現象。物理學家使用數學方程來描述規范對稱性和相互作用，經濟學家使用數學模型來描述供需關系等經濟現象。在規范場論中，物理系統往往在各種相互作用下達到一種動態平衡狀態，經濟學也有類似的概念（如市場均衡）。

哲學領域

規范場背后還蘊含著深刻的哲學思想。自然哲學是對自然界進行理性探索的哲學分支，主要研究自然現象及其成因?？茖W家和哲學家都對自然現象的本質進行了深入的思考。例如，形而上學是一種哲學思維方式，試圖探尋事物的本質，以及現象背后的基本原則。在某種程度上，規范場論也在試圖解答這些問題，通過揭示自然法則的最基本對稱性，來理解對稱性如何決定了物質的性質和行為。

發展探索

規范場使物理規律在經過不同的變換后仍能保持自身的一致性和守恒性，使變換背后隱藏的“協變性”被呈現出來，以揭示系統中不同組元之間的內在關聯和相互作用，進而發現物理定律，創造新理論并解釋新現象(如理解基本粒子的生成、描述粒子的運動等）。雖然規范場的思想起源于廣義相對論，但嚴格來說廣義相對論本身并不是一個基于楊-米爾斯規范對稱性的規范理論，引力是由時空的曲率產生的，而不是由傳遞粒子產生的，所以廣義相對論中沒有對應的規范玻色子。物理學家一直在探尋一個包括引力在內的統一的規范場論。例如，量子引力理論試圖將引力納入規范場論，為理解時空提供一個全新的視角。在弦律中，引力由一個二次酉群所描述，其生成元數為1，對應的規范玻色子是引力子。隨著人類對未知領域的探索，物理學需要新一輪的革命，其中，對稱性和規范性是理解自然現象的關鍵。

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