抽象代數(abstract algebra)亦稱近世代數，研究各種代數系的結構及其性質的分支學科。它是在初等代數基礎上經過數系概念的推廣與實施代數運算范圍的擴大，從18世紀末萌芽到20世紀30年代，逐步形成現代數學的主要分支之一。抽象代數擁有各種不同的分支，如群、環、域、格、模(包括向量空間)、代數等。
公元 830 年，花拉子米首次提出“代數”概念，法國數學家韋達在1591年《分析法入門》中首次系統使用符號對未知量的值進行運算，規定代數與算術的分界。1797-1849年德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯先后五次證明代數基本定理，將代數推廣到復數域和任意次數的方程。文藝復興時期，代數作為學科創建完成。19世紀是抽象代數發展的創立期，由基靈(Killing,W.K.J.)、赫爾曼·外爾(Weyl,(C.H.)H.)和鑫當(Cartan,E.(-J.))等人建立系統理論。從20世紀40年代初開始，抽象代數進入新的階段，成為抽象代數的活躍分支。
抽象代數學在密碼學和計算機領域都有應用。現代密碼學安全技術在設計上大量應用了數論、抽象代數等相關內容。在區塊鏈技術中利用了哈希、加解密、簽名、Merkle樹數據結構等。計算機科學領域中，高等代數和一般抽象代數解決了個體對象為簡單個體的論域上的大量運算問題。
定義
抽象代數，也稱近世代數，以研究數字、文字和更一般元素的代數運算的規律，研究由這些運算適合的公理而定義的各種代數結構(群、環、域、模、代數、格等)的性質為中心，是研究各種代數系的結構及其性質的分支學科。
它是在初等代數基礎上經過數系概念的推廣，與實施代數運算范圍的擴大，從18世紀末萌芽到20世紀30年代，逐步形成現代數學的主要分支之一。抽象代數包括群論、環論和域論等分支。由于代數運算貫穿在任何數學理論和應用問題里，而且代數結構及其元素具有很強的一般性，因此，抽象代數學的研究在整個數學中最具奠基性。抽象代數學的方法和成果也很容易滲透到一些與它相接近的各個不同的數學領域中，從而形成了一些有新面貌和新內容的邊緣學科，比如代數數論、代數幾何、拓撲代數、泛函分析等。抽象代數學對現代數學的發展發揮著極其基礎性作用，被認為是現代數學的支柱之一。它在其他一些科學領域，比如理論物理、結晶學等學科，也有著非常重要的影響和作用。
簡史
起源
公元 830 年，花拉子米首次提出“代數”的概念，法國數學家韋達在1591年的《分析法入門》中首次系統使用符號表示未知量的值進行運算，規定了代數與算術的分界。1637年，勒內·笛卡爾在《幾何》中對前人使用的符號進行了改進。
抽象代數
此后德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯分別在1797、1799、1815、1816、1849年先后五次用不同的方法證明了代數基本定理，將代數推廣到復數域和任意次數的方程。文藝復興時期，代數作為一個學科創建完成。19世紀是抽象代數發展的創立期，由基靈(Killing,W.K.J.)、赫爾曼·外爾(Weyl,(C.H.)H.)和鑫當(Cartan,E.(-J.))等人的卓越工作才建立了系統理論。
早期群論
1830年，年僅19歲的埃瓦里斯特·伽羅瓦(Galois.E)徹底解決了代數方程的根式求解問題，從而引進數域的擴張、置換群、可解群等概念。1843年，哈密頓發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，赫爾曼·格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數。
后來，凱萊(Cayley.A.)在1854年的文章中給出有限抽象群：戴德金(Dedekind.J.W.R.)于1858年在代數數域中又引入有限交換群和有限群：菲利克斯·克萊因(Klein.C.F.)于1872年建立了埃爾朗根綱領，這些都是抽象群產生的主要源泉，然而抽象群的公理系統直到1882年凱萊與書伯(Weber,H.)在數學Annalen的同一期分別給出有限群的公理定義，1893年書伯又給出無限抽象群的定義，由于李(Lie.M.S.)對連續群和弗羅貝尼烏斯(Frobenius.F.G.)對群表示的系統研究，對群論發展產生了深刻的影響，同時，李在研究偏微分方程組解的分類時引入李代數的概念。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數（也叫近世代數）的大門。1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；戴德金開始使用“體”的說法。1893年，馬克斯·韋伯定義了抽象的體。19 世紀末和 20 世紀初，數學方法發生了轉變。
早期環論
1910年，施坦尼茨建立了關于體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論。抽象代數的一般理論建立。1926年被認為是抽象代數形式確立的時間，Noether在這一年系統建立了現代數學中“環”和“理想”的理論，推動代數學研究對象從代數方程根的計算與分布，轉向研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律及各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質轉變，Noether因此被譽為抽象代數的奠基人之一。1930年，畢爾霍夫建立格論。抽象代數大約在 20 世紀初出現，被稱為現代代數。1930年至1931年出版的范·德·瓦爾登獨自撰寫兩卷專著《近世代數學》中，范德瓦爾登收集了許多域論中的定理。
從20世紀40年代初開始，抽象代數進入一個新的階段，1945年，羅曼·雅各布森(JacobsonN.)引入根及本原環的理論，成為環論發展的新階段，另一方面，作為線性代數推廣的模論得到進一步發展并產生深刻影響，在20世紀20-30年代出現了以生成元及其定義關系所定義的無限群，經霍爾(Hall,P.)、馬爾采夫(Mamaten.A.II.)等人的精彩工作，到20世紀40年代已形成獨立體系。1955年，埃里·嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。截止到2022年，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構。
現代代數
1962年，費特(Feit,W.)與湯普森(Thompson,J.G.)關于奇數階群必為可解群的定理，是對有限單群分類的重大突破，從埃瓦里斯特·伽羅瓦引入置換群，其后證明A.(n~5)是單群到1981年有限單群分類的完全解決，經歷了約150年之久，同期，李代數也得到深入發展，不僅推廣到一般域，而且無限維李代數從20世紀60年代崛起，作為復單李代數推廣的卡茨-穆迪代數就是卡茨(Kac.V.)與穆迪(Moody.R.)于1968年彼此獨立建立的，它與理論物理有密切關系，而李群的深入發展派生出代數群，即群是代數閉城上仿射簇。代數群及其表示理論與多重線性代數、交換環論、代數幾何、李代數等都有十分密切的聯系，近年來已成為抽象代數的活躍分支。
研究對象
抽象代數是研究以任意對象作為元素的集合賦予元素間的若干合成法則--即對集合中任意元素,有集合中惟一的元素與之對應——稱為運算，并且這些運算滿足于特定的一些條件——稱為公理。隨著集合所賦予的運算及其所滿足的公理體系的不同而形成各種不同的代數系，如群、環、域、格、模(包括向量空間)、代數等。
群論
群論（Group Theory）是代數的學科分支，它的研究對象主要是群的性質及結構。群是群論的核心概念，其被定義為：給定非空集合G，定義G上的代數運算“·”，其通常被稱為乘法，若滿足結合律，存在單位元和逆元素，稱集合G在該代數運算下構成一個群，簡稱G為一個群。群具有單位元e唯一、逆元唯一以及滿足消去律等性質，群包括置換群、循環群、對稱群、二面體群、矩陣群等。
子群與陪集
群的非空子集如果對于的運算也成一個群，則稱為的子群。可簡記為""。
設是的子群，是中的任意元素，則集合稱為子群在中關于的右陪集。類似地，子群在中關于的左陪集可定義為。
同構同態
設和是兩個群，如果到有一個映射，使得對于中任意兩個元素都有，則稱是群到的一個同態映射，簡稱為“同態”。如果到有一個雙射，使得對于中任意兩個元素都有，則稱群與 是同構的，記為,稱是到的一個同構映射，簡稱為同構。
環
環（Ring）是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究對象。其發展可追溯到19世紀關于實數域的擴張及其分類的研究。
環的理想
環的理想(ideal of 戒指)是環論的基本概念之一。環 的非空子集,若(,)是(,)的子加群，并且對任意,恒有，則稱為的左理想（右理想）。環的左理想與右理想統稱為單側理想。若既是的左理想又是右理想，則稱為環()的理想。理想這一概念在環論中的作用，類似于不變子群概念在群論中的作用。
域
定義(域)若非空集合是一個交換環，且中的全體非零元組成一個乘法群，則稱為域。
若一個偏序集中，任何兩個元素都有唯一的最小上界和唯一的最大下界，則稱該偏序集為格。
模定義：范疇 上的一個模(,,)，是由恒等函子：，兩個自然變換與構成，并滿足下圖所示的交換圖表。
是由數域上的“維向量”構成的集合，如果集合加法和數乘這兩種運算封閉，那么就稱集合為數域上的向量空間。
域擴張
域擴張（英語：Field extensions）是數學分支抽象代數之域論中的主要研究對象，基本想法是從一個基域開始以某種方式構造包含它的“更大”的域。
自同構
設和都是域，并且是的一個子環，則稱是的一個子域(subfield)、稱是的一個擴域(extensionfield)，或者稱是的域擴張(fieldextension)、記作、的包含的任一子域稱為的中間域(intermediate field)。
設是一個域，是到集合的雙射，那么可以在上定義適當的加法與乘法運算，使成一個域，并且是一個域同構。
證明：在S上定義加法與乘法如下：
對任意的，
，其中
，其中
容易證明，S在上述加法和乘法下構成一個域，且為域同構。
相關定理
Lagrange 定理
設（）是一個有限群，（）是它的一個子群，則
這條定理說明群的子群的階必定是群的階一個因子。顯然者群的階是素數，它必定無真子群存在。
例子 設（）是有限群，是中任意元素，則的階是的一個因子。
證明：設aG的階為r，它可形成一個群的子群是
由Lagrange定理，是的因子。
Sylow定理
Sylow定理是挪威科學家L.Sylow在1872年發現的，該定理提供了群的算術性質和結構性質之間的聯系，它是有限群最基本的研究結果之一。Sylow定理不僅指出了一類子群的存在忙性，還討論了這類子群的一些性質。Sylow定理在有限群的單性、可解性、共軛性、正規性、冪零性等許多力面都有著廣泛的應用，因而Sylow定理是研究群論特別是有限群的重要工具。
關于有限群的子群存在Sylow定理。定理(Sylow)G是有限群，其階，p，m互素，p是素數，則
1、群G中存在有t個Sylowp-子群，即階為的子群，其中；
2、群G中所有Sylowp子群彼此共軛，即所有Sylowp子群組成一個共軛子群類。
相關著作
《數學原理》
《數學原理》是阿爾弗雷德·懷特黑德和伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素合著的三卷本巨作，史稱“大《數學原理》”，主要是講數理邏輯和數學基礎問題。羅素是英國利奧六世和邏輯學家。懷特海是英國新實在論者的著名代表，他稱自己主張的哲學為“有機哲學”(又稱過程哲學)，它以機體為對象，研究“真正實體的生成、實在及其相互關系”。
《近世代數學》
范·德·瓦爾登的《近世代數學》著作為研究對象對象，分析和討論了其主要內容和創新之處，一定程度上闡述了代數結構思想的含義，說明了范德瓦爾登的《近世代數學》是代數結構思想確立的標志。這對于代數結構思想的研究，乃至數學結構思想的研究都具有重要意義。
與其他學科的聯系
生物學
19世紀80年代中期，恩格斯根據當時的科學狀況認為，數學的應用“在生物學中等于零”。到了20世紀，以分子生物學為標志，生物學實現了向理論科學的轉變，它由觀察描述生命的現象深入到探討生命微觀本質的新階段，對數學的要求也隨之更加迫切了。近幾十年來，數學與生物學的結合，產生了數量遺傳學、分子生物數學、生化數學等學科，早期大都使用微分方程、概率論和數理統計學等數學方法，現在則用到集合論、抽象代數、陣論、拓撲學等更加抽象、高深的數學理論。這樣，就把對人類生命世界的認識提高到一個嶄新的水平，將生物科學大大推向前進。
幾何結晶學
1855年，法國奧古斯特·布拉菲在幾何結晶學基礎上，借助于幾何學解析幾何學、群論和數學邏輯推理方法以及物理學發展所創造的條，推導出晶體的空間格子只有14種，為近代晶體結構學理論奠定了基礎。1889年，俄羅斯費德洛夫推導出晶體結構的一切可能的對稱形式，即230種空間群。此后，德國圣佛利斯等分別推導出相同的230個空間群，晶體結構的空間幾何理論日趨完善。
應用
抽象代數學的這些理論發展的同時，由于電子技術的發展和電子計算機的廣泛應用，抽象代數學的一些成果和方法可直接應用到工程技術中，如代數編碼學、語言代數學、代數自動機理論等新的應用代數學的領域相繼產生和發展，同時它又是離散數學的重要組成部分，并對組合數學的突起和蓬勃發展產生重大影響，這些新的應用推動了近代應用代數的形成，發展與完善。
密碼學領域
現代密碼學安全技術在設計上大量應用了十分專業的現代數學知識，特別是數論、抽象代數等相關內容。在區塊鏈技術中大量利用了現代密碼學的已有成果，包括哈希、加解密、簽名、Merkle樹數據結構等。另一方面，區塊鏈系統和諸多新的場景也對密碼學和安全技術提出了很多新的需求，反過來也將促進相關學科的進一步發展。
計算機領域
計算機科學的理論學科形態是基于數學的，高等代數和一般抽象代數解決了個體對象為簡單個體的論域上的大量運算問題，對具有結構特征和屬性成分的復雜個體的論域上的運算問題，表達和處理是不方便的，常常是有困難的。目前，國內外大多數計算機科學與技術工作者數理邏輯基礎知識涉及到命題演算、一階謂詞演算和少量的邏輯系統演算特征(范式部分)，抽象代數基礎知識涉及群、環、域和格。
參考資料 >
Extension Field.Wolfram MathWorld .2024-01-22