權(quán)方和不等式表示n個(gè)數(shù)和的m+1次方與其加權(quán)的m+1次方和之間的關(guān)系，定義為:設(shè)，m為正整數(shù)，
則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。
權(quán)方和不等式是1985年，由湖北楊克昌教授命名的。1999年，楊飛在他發(fā)表的文章，對(duì)權(quán)方和不等式是否成立提出了疑問(wèn)。三年后，俞武揚(yáng)對(duì)其猜想進(jìn)行證明，并舉例進(jìn)行計(jì)算。2008年，孔小波、孫文迪兩位學(xué)者對(duì)權(quán)方和不等式進(jìn)行了優(yōu)化。其實(shí)質(zhì)是赫爾德不等式的特例，權(quán)方和不等式的特點(diǎn)是分子的冪指數(shù)比分母高一次，m稱(chēng)為該不等式的權(quán)。
權(quán)方和不等式的證明可采用多種方法，如利用均值不等式來(lái)證明。權(quán)方和不等式可以解決數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題，如函數(shù)最值問(wèn)題，分式不等式證明問(wèn)題。
定義
權(quán)方和不等式特點(diǎn)是分子的冪指數(shù)比分母高一次，m稱(chēng)為該不等式的權(quán)，定義為:
設(shè),m為正整數(shù),則,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。
簡(jiǎn)史
1985年，楊克昌教授在婁底師專(zhuān)學(xué)報(bào)上刊登了《權(quán)方和不等式》一文，給出一個(gè)關(guān)于若干個(gè)正數(shù)的加權(quán)方冪之和與其和的同次冪之間關(guān)系的不等式，簡(jiǎn)稱(chēng)權(quán)方和不等式，并對(duì)其求證，舉例說(shuō)明了權(quán)方和不等式在不同計(jì)算中的應(yīng)用。1999年，楊飛在他發(fā)表的《一道習(xí)題到兩個(gè)優(yōu)美的不等式》文末，對(duì)權(quán)方和不等式是否成立提出了疑問(wèn)。2002年，俞武揚(yáng)對(duì)其猜想運(yùn)用凸函數(shù)定理進(jìn)行證明，并運(yùn)用解題。2008年，孔小波、孫文迪兩位學(xué)者對(duì)權(quán)方和不等式進(jìn)行了優(yōu)化，提出了權(quán)方和不等式的姊妹不等式一說(shuō)法，并進(jìn)行證明。
權(quán)方和不等式與柯西-施瓦茨不等式和赫爾德不等式關(guān)系密切?？挛?施瓦茨不等式最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（法語(yǔ)：Augustin-Louis Cauchy）在1821年提出。俄國(guó)數(shù)學(xué)家布尼亞科夫斯基（俄語(yǔ)：Виктор Яковлевич Буняковский）在1859年提出奧古斯丁-路易·柯西施瓦茨不等式的積分形式，1888年德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼·施瓦茨（德語(yǔ)：Hermann Schwarz）給出積分形式的現(xiàn)代證明。赫爾德不等式，又稱(chēng)為Holder-Rogers不等式，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)體系中具有重要地位的一個(gè)不等式，應(yīng)用廣泛。此不等式分別是奧圖·赫爾德（Otto LudwigHolder，1859-1937，德國(guó)數(shù)學(xué)家）于1889年和L·J·羅杰斯(L.J.Rogers)于1888年發(fā)現(xiàn)的。
相關(guān)概念
赫爾德不等式
假設(shè)
則有
當(dāng)時(shí)，得柯西-布尼亞科夫斯基不等式。
柯西不等式
設(shè),，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。對(duì)柯西不等式進(jìn)行乘積運(yùn)算可得到權(quán)方和不等式，因此，權(quán)方和不等式是柯西不等式的特例。
定理：（權(quán)方和不等式）已知都是正數(shù)，求證
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。
證明：根據(jù)柯西不等式，有
因?yàn)槎际?a href="/hebeideji/683057890117683834.html">正數(shù)
所以權(quán)方和不等式成立。
冪平均不等式
設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
詹森不等式
若為上的凸函數(shù)，則對(duì)任意
有
李亞普諾夫不等式
對(duì)于任意實(shí)數(shù),如果, 則有。
閔可夫斯基不等式
閔可夫斯基不等式：設(shè)都是正實(shí)數(shù)，，則
。等號(hào)成立條件是成比例。
推導(dǎo)證明
運(yùn)用均值不等式證明
換元并通過(guò)均值不等式證明。換元設(shè),,可以得到并且權(quán)方和不等式 等價(jià)于
不等式： (1)。
現(xiàn)對(duì)不等式（1）進(jìn)行證明：
當(dāng)且僅當(dāng)
即當(dāng)時(shí)，（1）式成立，所以權(quán)方和不等式等號(hào)成立。
運(yùn)用詹森不等式和李亞普諾夫不等式證明
設(shè)m為正整數(shù)，a、b,>0(i=1,2,…，n),則。
由于,利用李亞普諾夫不等式有
整理可得
證畢。
運(yùn)用凸函數(shù)定理證明
凸函數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I為下凸函數(shù)，
。
現(xiàn)取，,可知此函數(shù)在為下凸函數(shù)。
令
整理得：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
相關(guān)應(yīng)用
垂足三角形定理的證明
可用權(quán)方和不等式證明垂足三角形的相關(guān)定理。
定理：關(guān)于垂足三角形的面積，有如下關(guān)系式。
證明:因
可知
由權(quán)方和不等式可知
根據(jù)三角不等式可得：，所以
根據(jù)三角不等式：
所以。
解方程組
解方程組
解：方程組內(nèi)
根據(jù)方程組內(nèi)（1）式、權(quán)方和不等式，可知
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上等式取等號(hào)
由此可得原方程組解為。
證明分式不等式
設(shè)a、b>0,求證。
證明:由權(quán)方和不等式可得
現(xiàn)證明，則原式成立。
證畢。
求解函數(shù)極值
已知分別在n>2,n<0時(shí)的最小值以及在0 解：先將原函數(shù)化為 ，當(dāng)且僅當(dāng), 。 由權(quán)方和不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng)， 。 推論1 若 則當(dāng)且僅當(dāng)ps=qr時(shí)取等號(hào)。 證明：由閔可夫斯基不等式與權(quán)方和不等式 可得 當(dāng)且僅當(dāng)ps=qr時(shí)取等號(hào)。 推論2 已知時(shí)等號(hào)成立。 推論3 已知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 參考資料 >相關(guān)推論