來源：互聯網
赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto H?lder）。這是一條揭示Lp空間相互關系的基本不等式。
基本形式
內容
設 ,若，則
若 ,則該不等式反向。
成立條件
僅當{{}，{ }}中至少有一個為零數列或者，且,使得,
離散形式
內容
設
或
滿足條件的p,q稱為共軛指數，是規定,
若，則
若 ,則不等號反向。
成立條件
時，
,且
成立
積分形式
內容
設p、q為共軛指數，令
若
當
時，
,且
即 ,
…………………… ①
………… …………②
若 ,則不等號方向改變
成立條件
時，僅當
,使得
和在E上幾乎處處成立時①式成立
時，僅當
，使得
a.e.(almost everywhere)于E，且
時，
②式成立
其他證明
赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。
如果，那么f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果 也是這樣。因此，我們可以假設 且 。
如果 或 ，那么不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設 和 位于內。
如果且，那么幾乎處處有，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對于 和 ，情況也類似。因此，我們還可以假設 。
分別用f和g除 ，我們可以假設：
我們現在使用楊氏不等式：
對于所有非負的a和b，當且僅當時
等式成立。
因此：
兩邊積分，得：.
這便證明了赫爾德不等式。
在 和 的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有
。更一般地，如果 和 位于 內，那么赫爾德不等式變為等式，當且僅當存在（即 且 ），使得：
的情況對應于中的。 =的情況對應于中的。
參考資料 >