初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質的數(shù)學分支。它是數(shù)論的一個最古老的分支。它以算術方法為主要研究方法，主要內容有整數(shù)的整除理論、同余理論、連分數(shù)理論和某些特殊不定方程。換言之，初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結構的方法研究數(shù)論）。
歷史發(fā)展
古希臘
古希臘畢達哥拉斯是初等數(shù)論的先驅。他與他的學派致力于一些特殊整數(shù)（如親和數(shù)、完全數(shù)、多邊形數(shù)）及特殊不定方程的研究。公元前4世紀，歐幾里得的《幾何原本》通過102個命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關于“素數(shù)有無窮多個”的證明，被認為是數(shù)學證明的典范。
初等數(shù)論已經(jīng)有2000年的歷史，公元前300年，歐幾里得發(fā)現(xiàn)了素數(shù)是數(shù)論的基石，他自己證明了有無窮多個素數(shù)。公元前250年古希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼發(fā)明了一種篩法。2000年來，數(shù)論學的一個最重要的任務，就是尋找一個可以表示所有素數(shù)的統(tǒng)一公式，或者稱為素數(shù)普遍公式，為此，人類耗費了巨大的心血。后來發(fā)現(xiàn)埃拉托塞尼篩法可以轉換成為一個素數(shù)產(chǎn)生的公式：
公元前250年同樣是古希臘的數(shù)學家埃拉托塞尼提出一種篩法：
（一）“要得到不大于某個自然數(shù)n（不等于0）的所有素數(shù)，只要在2至n中將不大于的素數(shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。
（二）將上面的內容等價轉換：“如果n是合數(shù)（非0自然數(shù)），則它有一個因子d滿足
”。
（三）再從（二）得到等價的逆否命題：“若自然數(shù)n不能被不大于的任何素數(shù)整除，則n是一個素數(shù)”。
（四）上述的（三）可以用符號如此表達：
其中
順序地表示素數(shù)2，3，5，...。對以上的數(shù)（即為N被相除所得之余數(shù)），有（余數(shù)不為0）。
即N不能是形。若是，則N是一個素數(shù)。
（五）可以把上述的式（1）用同余式組表示：
例如，29不能夠被以下的任何素數(shù),如2，3，5整除，。
，所以29是一個素數(shù)。
由于（2）的模
兩兩互素，根據(jù)孫子定理（中國剩余定理）知，（2）式在的意義上有唯一解。
例如時，解得。求得了（3，3）區(qū)間的全部素數(shù)。
例如：當時，，解得；，解得。如此，求得了（5，5 ）區(qū)間的全部素數(shù)。
仿此下去可以求得任意給常數(shù)以內的全部素數(shù)。
(六)用程序方法求素數(shù)。“若一個自然數(shù)n，判斷是否整除，先判斷其能否整除2，若不能再判斷其能否整除3，依次向下判斷，當時，判斷結束。”如果所有判斷都不能整除，則自然數(shù)N為素數(shù)。
公元3世紀，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設計巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀以來，皮耶·德·費瑪、萊昂哈德·歐拉、高斯等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內容。
古代中國
中國古代對初等數(shù)論的研究有著光輝的成就，《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《數(shù)書九章》等文言文獻上都有記載。中國剩余定理比歐洲早500年，西方常稱此定理為中國剩余定理，秦九韶的大衍求一術也馳名世界。初等數(shù)論不僅是研究純粹數(shù)學的基礎，也是許多學科的重要工具。它的應用是多方面的，如計算機科學、組合數(shù)學、密碼學、信息論等。如公開密鑰體制的提出是數(shù)論在密碼學中的重要應用。
內容介紹
初等數(shù)論有以下幾部分內容：
1.整除理論。引入整除、因數(shù)、倍數(shù)、質數(shù)與合數(shù)等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里得的輾轉相除法、算術基本定理、素數(shù)個數(shù)無限證明。
2.同余理論。主要出自于高斯的《算術研究》內容。定義了同余、原根、指數(shù)、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費馬小定理、威爾遜定理、中國剩余定理（即中國剩余定理）等等。
3.連分數(shù)理論。引入了連分數(shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分數(shù)展開。主要成果：循環(huán)連分數(shù)展開、最佳逼近問題、佩爾方程求解。
4.不定方程。主要研究了低次代數(shù)曲線對應的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數(shù)求解。也包括了四次費馬方程的求解問題等等。
5.數(shù)論函數(shù)。比如歐拉函數(shù)、莫比烏斯變換等等。
6.高斯函數(shù)。
初等數(shù)論是一個理論層次
第一個層次叫做數(shù)學概念，是反映對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知的事物的共同本質特點抽象出來，加以概括，就成為概念。表達概念的語言形式是詞或詞組。科學概念，特別是數(shù)學概念要求更加嚴格，至少必須具備三個條件：專一性，精確性，可以檢驗。例如：”孿生素數(shù)猜想“就是一個數(shù)學概念。
第二個層次叫做數(shù)學命題，數(shù)學命題是對一系列數(shù)學概念之間的關系作出判斷的句子。一個命題要么真，要么不真（這由邏輯中的排中律保證）。真命題包含定理，引理，推論，事實等。命題既可以是存在性命題（表述為”存在......."），也可以是全稱命題（表述為“對于一切....."）。
第三個層次叫做數(shù)學理論，把方法，公式，公理，定理，原理，組合成為一個體系叫做數(shù)學理論。例如“初等數(shù)論”，由公理（例如等量公理），定理（例如費馬小定理），原理（例如抽屜原理，一一對應原理），公式等組成。
在數(shù)學證明時，全稱命題常常不能通過枚舉法來判斷真?zhèn)危@是因為數(shù)學有時面對的是無窮多個對象，永遠不可能一一枚舉出每一種情況。不完全歸納法在數(shù)學中是不可行的，數(shù)學只承認演繹邏輯（數(shù)學歸納法，超限歸納法等均屬于演繹邏輯）。
代表人物
費馬在古典數(shù)論領域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法，引入了費馬數(shù)等等。
與費馬相關的著名結論如下：
費馬小定理：，其中p是一個素數(shù)，a是正整數(shù)。
事實上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是說：,a，n都是正整數(shù)且互素，φ(n)是Euler函數(shù)，表示和n互素的小于n的正整數(shù)的個數(shù)。
費馬大定理（當時是猜想）：是整數(shù)，則方程沒有滿足的整數(shù)解。這個是不定方程，它已經(jīng)由美國數(shù)學家安德魯·懷爾斯證明了(1995年)，證明的過程相當艱深。
引入歐拉函數(shù)，得到著名的歐拉定理——費馬小定理推廣；研究了連分數(shù)展開問題；用解析方法證明了素數(shù)無限；討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數(shù)論內容。
高斯
被譽為“數(shù)學王子”。解決了正多邊形尺規(guī)作圖問題，將它和費馬數(shù)聯(lián)系起來。高斯的著作
《算術研究》提出了同余理論，討論了平方剩余問題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律。高斯提出了著名的素數(shù)定理（當時是猜想），研究了指標和估計問題——表示論的雛形。
同名書籍
高等學校數(shù)學教材初等數(shù)論（第二版）定價：￥35.00
出 版 社：北京大學出版社有限公司
出版時間：2003-1-1
版次：2
頁數(shù)：592
字數(shù)：520000
印刷時間：2011-1-1
開本：大32開
紙張：膠版紙
印次：9
I S B N：9787301060759
包裝：平裝
內容簡介
本書自1992年9月出版以來，已發(fā)行24000冊，深受教師和學生的歡迎。在第二版中，本書作者根據(jù)10年來讀者和本書編輯提出的寶貴意見，以及在教學實踐中的體會，對本書內容做了進一步修改與完善（見第二版說明），使之更適宜于教學需要。
本書是大學初等數(shù)論課教材。全書共分九章。內容包括：整除，不定方程，同余，同余方程，指數(shù)與原根，連分數(shù)，素數(shù)分布的初等結果，數(shù)論函數(shù)等。書中配有較多的習題，書末附有提示與解答。?書積累了作者數(shù)十年教學與科研的經(jīng)驗，遵循少而精的原則，精心選材。為便于學生理想，對重點內容多側面分析，從不同角度進行闡述。
作者簡介潘承洞，數(shù)學家，中科院院士。江蘇蘇州人。著作有《哥德巴赫猜想》（合著）、《階的估計》等。
目錄第二版說明
第一版序
符號說明
第一章整除
1自然數(shù)與整數(shù)
2整除
3帶余數(shù)除法與輾轉相除法
4最大公約數(shù)理論
5算術基本定理（A）
6算術基本定理（B）
7符號的分解式
8容斥原理與的計算公式
第二章不定方程（I）
1一次不定方程
第三章同余
1同余
2同余類與剩余系
3（M）的性質與Fermat-Euler定理
4Wlison定理
第四章同余方程
1同余方程的基本概念
2一次同余方程
3一次同余方程組，中國剩余定理
4一般同余方程的求解
5橫為素數(shù)的二次同余方程
6Legendre符號,Gauss二次互反律
7Jacbi符號
8模為素數(shù)的高次同余方程
9多元同余方程,Chevalley定理
第五章指數(shù)與原根
1指數(shù)
2原根
3指標、指？組與既約剩余系的構造
4二項同余方程
第六章不定方程（II）
……
第七章連分數(shù)
第八章素數(shù)分布的初等結果
第九章數(shù)論函數(shù)
附錄一自然數(shù)
附錄二算術基本定理不成立的例子
附錄三初等數(shù)論的幾個應用
附錄四國際數(shù)學奧林匹克競賽中數(shù)論有關的題
習題的提示與解答
參考資料 >