完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。如果一個數恰好等于它的真因子之和，則稱該數為“完全數”。第一個完全數是6，第二個完全數是28，第三個完全數是496，后面的完全數還有8128、33550336等等。
公元前3世紀，古希臘人在對正整數進行因數分解時，發現有的數的所有因數（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，即為完全數。在近代，1644年，法國數學家梅森（M.Mersenne）提出了著名的梅森猜想，歐拉、盧卡斯等人為猜想真偽的辨明做出了貢獻。進入20世紀，電子計算機的出現，為完全數的尋找提供了便利。對于奇完全數是否存在，布倫特（R．Brent）等人給出了相關結論與證明。
完全數具有一些神奇的性質，如每一個偶完全數都可以寫成連續自然數之和。與完全數相關的定理為歐幾里得定理以及歐拉定理，它們為完全數的計算提供了理論基礎。將完全數概念進行推廣，可得到多重完全數，以及在某一特殊函數下定義的完全數。在東西方文化中，完全數一直是祥瑞的象征，象征著吉祥如意，美滿幸福。
定義
完全數（完美數）指的是一個數的所有因子（不包括自身）之和等于這個數本身。設表示正整數的所有因數之和，則是一個完全數等價于。
簡史
古代
完全數概念的提出可追溯至古希臘時期。公元前3世紀，古希臘人在對正整數進行因數分解時，發現有的數的所有因數（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，他們稱之為完全數。公元前300年左右，歐幾里得在其《幾何原本》卷九最后給出了尋找完全數的命題，即為歐幾里得定理。公元1世紀左右，古希臘數學家尼科馬霍斯（Nichomachus）在《算術入門》中復述了以上4個完全數和歐幾里得定理。
近代
到了近代，關于完全數的研究，許多著名的猜想和定理被提出。1460年，一位無名氏的手稿，給出了第5個完全數33550336。16世紀意大利數學家塔塔利亞（N.Tartaglia）指出，當p=2或3~39間的奇數時，2p-1（2p-1）是“完全數”，共有20個。17世紀“神數術"大師龐格斯（Pangos）在《數的玄學》中，在塔塔利亞的基礎上，列出了28個“完全數”。1603年，意大利數學家卡塔爾迪（P.A.Cataldi）證明了無名氏找出的那第5個完全數符合歐氏定理。同時，他證明了第6個和第7個完全數分別是216（217-1）和218（219-1）；但他也給出了一些錯誤的結論。直到1640年，法國大數學家皮耶·德·費瑪使用著名的費馬小定理證明了卡塔爾迪關于p=23的結果是錯誤的。1644年，法國數學家梅森（M.Mersenne）指出：龐格斯給出的28個“完全數”中只有8個是正確的。即當p取2，3，5，7，13，17，19，31時，2p-1（2p-1）是完全數。同時，他另給出第9，10，11個完全數，即p取67，127，257時。梅森在沒有證明的情況下斷言：當p≤257時，就只有這11個完全數。這就是歷史上著名的“梅森猜測”，而形如2p-1的數被稱為“梅森數”，其中的素數稱為“梅森素數”。
18、19世紀，大量數學家參與到梅森猜想的研究中。1730年，瑞士數學家證明了一個重要定理：“每一個偶完全數都是形如2p-1（2p-1）的自然數，其中p與2p-1都為素數”。1772年，萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下，仍在頑強地研究完全數。他寫信給瑞士數學家雅各布·伯努利（Bernoulli）說，他用試除法已靠心算證明，當p=31時，230（231-1）是第8個完全數。同時，他還糾正了自己指出p取41、47是完全數的錯誤。1876年，法國數學家盧卡斯（F.Lucas）提出了一個用來判別素性的重要定理—盧卡斯定理。借助盧卡斯定理，數學家們發現，“梅森猜測”中p取67和257可得到的完全數的說法是錯誤的，且在p≤257范圍內，梅森漏掉了p取61，89，107時的三個完全數。這樣一來，“梅森猜測"應修正為：p≤257時，當p取2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127時，2p-1（2p-1）是完全數，共12個。
現代
電子計算機的出現，大大加快了完全數的尋覓步伐。人們自開始利用計算機尋覓完全數至今，又發現了34個完全數，其間歷時64年。截至2018年，相關研究者已經找到51個完全數。截至2024年10月，全球已發現52個梅森素數。在1922年，數學家克萊契克（M.Kraitchik）運用抽屜原理驗證了2257-1并不是素數，而是合數，只是當時他并沒有給出這一合數的素因子，故2256（2257-1）并非完全數。
19世紀中后期，偶完全數的結論已較為成熟，而對于即完全數的探討在數學界仍占據較重要的地位。數學家奧爾(O.Ore）用計算機檢查過108以下的自然數，沒有發現一個奇完全數。1973年，有人證明奇完全數必須大于1050；1975年，哈吉斯（P.Hagis）和邁克丹尼爾（W.L.McDaniel）證明奇完全數的最大素因子一定大于100110；后來，布蘭斯坦（M.Brandstein）指出：若奇完全數存在，它的最大素因子大于5×105。1976年，塔克曼（B.Tuckerman）研究后宣布，若奇完全數存在，它必須大于1036。1979年，哈吉斯等人證明，奇完全數如果存在，則其異素因子的個數大于等于8。尼爾森（P.P.Nilsen）進一步改進了奇完全數相異素因子的個數，他證明若n為奇完全數，則其相異素因子個數大于等于9，且他進一步得到當3不整除n時，n的相異素因子個數大于等于12。1981年，哈吉斯再次指出，若奇完全數存在，它的第二大素因子大于103；1989年，布倫特（R.Brent）等指出：若奇完全數存在，則必大于10160；1991年，布倫特等人又將此下界推進至10^300。而利普（W.Lipp）將之改進為大于10500；1999年，還有人指出奇完全數的更大下界，但塞達克（F.Saidak）發現證明中的錯誤，并將錯誤告訴了證明者。
舉例
性質
關于完全數
（1）完全數的全部因數的倒數之和都是，因此每個完全數都是調和數。如
（2）完全數的二進制表達式：
。
關于偶完全數
（1）偶完全數都是以或結尾。如果以結尾，那么就肯定是以結尾。（科學家仍未發現由其他數字結尾的完全數。）
（2）除以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成一位數，那么這個一位數一定是。亦即：除以外的完全數，被除都余。如：
（3）所有的偶完全數都可以表達為的一些連續正整數次冪之和，從到。如：
；
；
；
。
（4）每一個偶完全數都可以寫成連續自然數之和：
；
；
。
（5）除以外的偶完全數，還可以表示成連續奇數的立方和：
；
；
；
。
關于奇完全數
（1）級數(此處經過所有的且下界為的奇完全數）。
（2）設是具有個相異素因子的奇虧完全數，則或者。且若，有；若，有。
相關定理
歐幾里得定理
定理：若為素數（即梅森素數），則是完全數。
證：設，由于是素數，所以。注意到，
有：。
故是完全數。
歐拉定理
定理：若是一個偶完全數，則，這里為某素數，且也是素數。
證：設的標準分解式中含的最高方冪的次數為，因為偶數，故。又因顯然不是偶完全數，所以
。
由，可得
易知，和都是的正因數，但是的所有正因數之和，故只有兩個正因數，即為素數，且，因此為素數。此時必須是素數，記為。證畢。
計算
公式法
公元前3世紀，古希臘著名數學家歐幾里得發現了一個計算完全數的公式：如果n是質數，且也是一個質數，那么，由公式算出的數一定是一個完全數。
例如，當時，是一個質數，于是是一個完全數；當時，是一個完全數；當時，也是一個完全數。
電子計算機法
可定義一個布爾型函數perfect（x），若x是完全數，其值為ture，否則為false。計算完全數的函數定義如下：
function perfect（x：integer）：boolean；
var
k，sum：integer；
begin //累加x所有小于本身的因數
sum：=1；
for k：=2 to x div 2 do
if x mod k=0 then sum：=sum+k； //判斷x是否是完全數
perfect：=x=sum； //將結果賦值給函數名
end；
自定義函數只是主程序的說明部分，若主程序中沒有調用函數，則系統不會執行函數子程序。當主程序調用一次函數時，則將實際參數的值傳給函數的形式參數，控制轉向函數子程序去執行，子程序執行完畢自動返回調用處。
相關概念
梅森數
具有形式的數為梅森數（Marin Mersenne），其中為素數。如果梅森數是素數，則稱為梅森素數。梅森數可能是素數，也可能是合數，例如：都是素數，而是合數。
上述歐幾里得定理利用梅森素數計算偶完全數的方法。此外，所有的偶完全數都是形如的數，這里是質數。由此推出，有幾個梅森數質數，就有幾個偶完全數。
親和數
親和數指的是兩個數中，一個數的全部因數（本身除外）之和與另一個數相等。例如，數字220和284就是親和數。
完全數和親和數被許多數字性的臆測所包圍。例如，Saint Augustine認為雅威在六天內創造了天和地，因為6是一個完全數，從而會預示該工作的完美性。親和數常常和兩個人的親密友誼相聯系。1007年，在馬德里這些數曾被建議可以當作一貼愛情之藥來使用：將較小的數送給你所愛的對象而你自己吃較大的數（例如220粒與284粒米）。此外，在許多未解決的問題方面，完全數和親和數是類似的。
推廣
多重完全數
在自然數中，還存在大量滿足“一個數的k倍等于它的全部因數（包括1和其自身）的和，其中k為不小于3的整數”這樣的整數，稱之為k重完全數。現已發現的多重完全數包括，3重完全數（6個）、4重完全數（20個）、5重完全數（13個）、6重完全數（1個）。
特殊完全數
設是全體正整數的集合，對于正整數，設。
如此的稱為的Smarandache函數。設是正整數，如果的不同因數之和等于，則稱是完全數。Ashbacher將完全數的概念推廣到了Smarandache函數范圍，將滿足的正整數稱為Smarandache完全數。對此，他證明了：當時，僅有Smarandache完全數編輯器。
應用
計算機
整數通常是程序設計語言的一種基礎形態，例如Java及C編程語言的int類型。整數問題是實際應用中經常要解決的問題。整型數據根據其所占內存大小可分為基本整型（int）、長整型（longint）、短整型（short int），根據數據滿足的某些性質又可將其分為完全數、水仙花數和親密數等完全數作為計算機Python語言的一種基礎工具，可以解決各種整數問題，簡化計算過程。
相關文化
完全數是被古人視為瑞祥的數。6這個數人人都喜歡，它代表吉祥如意。神話上說至高無上的宇宙之神在六天之內創造萬物，第七天休息，從此有一周七天、星期日休息的作休制。意大利把6看成是屬于愛神維納斯的數，以象征美滿的婚姻及健康和美麗。中國古代哲人那時大概還不知道6是個完全數，但他們卻總是把6作為一個周期完成的標志，像《周易》就是以六爻成卦的。
參考資料 >