哥德巴赫猜想（英文名：Goldbach’s conjecture）是德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫于1742年6月7日給數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的一個猜想，可分為強哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想兩種形式。其中強哥德巴赫猜想是指萊昂哈德·歐拉回信中給出的另一個等價的版本，現(xiàn)代的表述為任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和，例如6=3+3，24=11+13，100=97+3等。而弱哥德巴赫猜想則是在這一基礎(chǔ)上推出的，即任何一個大于7的奇數(shù)都可以表示為三個素數(shù)之和。
1742年，哥德巴赫給歐拉寫的一封信中首次提到了哥德巴赫猜想，歐拉回信中堅信猜想是正確的，并給出了第二種表述，但他并未給出證明。1900年，戴維·希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上將猜想作為一個問題，引發(fā)了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。20世紀，數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代、狄利克雷、維諾格拉多夫、華羅庚、陳景潤等人使用不同的方法對這一猜想進行了研究。其中很有代表性的方法為圓法和篩法。
由哥德巴赫猜想引出的三素數(shù)定理、陳氏定理的證明，為數(shù)論的發(fā)展做出了重要貢獻。此外，哥德巴赫猜想也出現(xiàn)在一些文化作品中，人們對于它的討論也將繼續(xù)持續(xù)下去。
猜想內(nèi)容
1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在給當時的大數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）的信中，提出任何一個大于2的整數(shù)都可以寫成三個素數(shù)之和。
強哥德巴赫猜想
1742年6月30日，歐拉在回信中注明哥德巴赫所提出的可以有另一個等價的版本，即任何一個≥6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇質(zhì)數(shù)之和。現(xiàn)代的表述為：任何一個≥6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇質(zhì)數(shù)之和，例如，，等。長城歐拉的這一表述方式也被稱為“強哥德巴赫猜想”或者“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。
弱哥德巴赫猜想
由強哥德巴赫猜想又可以推出，任何一個大于7的奇數(shù)都可以表示為三個素數(shù)之和，這也被稱為“弱哥德巴赫猜想”或者“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。后來，人們把能夠表示為兩個奇素數(shù)之和的偶數(shù)稱為哥德巴赫數(shù)，例如，因此為哥德巴赫數(shù)。
歷史沿革
猜想的提出
哥德巴赫猜想是在1742年6月哥德巴赫（Goldbach)給數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）寫的一封信中所提到的內(nèi)容，提出任何一個大于2的整數(shù)都可以寫成三個素數(shù)之和，隨后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)給出了對哥德巴赫猜想的初步論證。他將每個偶數(shù)表示為一個小于或等于任意素數(shù)的和。雖然這個證明不完整，但它為后來的研究提供了重要的啟示。1900年，戴維·希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題，即為哥德巴赫猜想，該猜想的證明與討論開始在數(shù)學(xué)界引起廣泛的關(guān)注。
發(fā)展與突破
1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了定理""，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”，""，翻譯成數(shù)學(xué)語言即：“任何一個足夠大的偶數(shù)，都可以表示成其他兩個數(shù)之和，而這兩個數(shù)中的每個數(shù)，都是9個奇質(zhì)數(shù)之積。在同一時期，英國數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和李特爾伍德極大地發(fā)展了解析數(shù)論，建立起了“圓法”等研究數(shù)論問題的有力工具。他們在1923年合作發(fā)表的論文中使用“圓法”證明了：在假設(shè)廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數(shù)都能表示為三個素數(shù)的和以及幾乎每一個充分大的偶數(shù)都能表示成兩個素數(shù)的和。19世紀中葉，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）在對素數(shù)的研究中取得了重要的突破。他證明了對于任意的正整數(shù)和，存在著無窮多個形如的素數(shù)。這個結(jié)果被稱為狄利克雷定理，為后來對哥德巴赫猜想的證明提供了有力的工具。
弱猜想的證明
20世紀中葉，著名數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫(Vinogradov)致力于解決哥德巴赫猜想，并在1937年取得了重大突破。他利用估計指數(shù)和的方法證明了對任意大的奇數(shù)，都可以表示為三個素數(shù)之和，即第二個推測是正確的。在1938年，中國數(shù)學(xué)家華羅庚證明了命題“每一個大于或等于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和”對幾乎所有的偶數(shù)都成立。1945年，林尼克發(fā)展出估計狄利克雷函數(shù)零點密度的方法，并用其證明了劣弧上的積分可以忽略，從而用分析方法證明了弱哥德巴赫猜想。陳景潤在1973年發(fā)表了“”的證明，其中對篩法作出了重大的改進，提出了一種新的加權(quán)篩法，因此“”也被稱作是陳氏定理。
相關(guān)概念
整除
整除的數(shù)學(xué)定義為：設(shè)，且，如果存在整數(shù),使得，則稱整除,或能被整除，記作。此時稱為的因數(shù)，為的倍數(shù)。若不存在這樣的整數(shù)，則稱不整除，或不能被整除，記作。
奇數(shù)和偶數(shù)
能被2整除的整數(shù)，如稱為偶數(shù)，一般用()表示，一般把大于0的偶數(shù)稱為正偶數(shù)。不能被2整除的整數(shù)，如稱為奇數(shù)，一般用或者表示(),一般把大于0的奇數(shù)稱為正奇數(shù)。
素數(shù)和合數(shù)
若正整數(shù)恰好只有1及本身兩個正因數(shù)，則稱為素數(shù)（又稱質(zhì)數(shù)），若正整數(shù)的正因數(shù)多于兩個，則稱為合數(shù)（又稱復(fù)合數(shù)）。如數(shù)的一個正因數(shù)是素數(shù)，則稱是的一個素因數(shù)。
相關(guān)證明
圓法
設(shè)是正整數(shù)，以分別表素變數(shù)不定方程
的解數(shù)得出:
，
其中，，即第一個猜想和第二個猜想便轉(zhuǎn)化為了 ，即哥德巴赫猜想就轉(zhuǎn)化為討論式和式的積分了。圓法的思想認為：對充分大的，當和分母“較小”的既約分數(shù)“較近”時，三角和就取“較大”的值，當和分母“較大”的既約分數(shù)“較近”時，三角和就取“較小”的值。因而式和式中的積分的主要部分應(yīng)該是在那些分母“較小”的既約分數(shù)為中心的一些“小區(qū)間”上。
篩法
埃拉托斯特尼篩法是指對一個給定的有限數(shù)列的元素進行如下篩選：設(shè)是個不同的素數(shù)，對每一個給定個對模互不同余的數(shù)，即總共給出了個剩余類。中的一個元素，如果它屬于上述式子中的某一個剩余類，那么就將它去掉，否則就留下。把經(jīng)過這樣挑選后剩下的子序列記作，是由中所有這樣的元素組成的：它不屬于由式 給出的任何一個剩余類。由式給出的一組剩余類好像起了一個“篩子”的作用，凡是屬于其中某一個剩余類的數(shù)就要被這個“篩子”篩去。所以，這一挑選過程被稱為篩法。
計算機算法
使用Python語言對哥德巴赫猜想進行驗證時, 需要判斷給定的數(shù)是否是素數(shù)。因此在程序中, 函數(shù)用于判斷給定自然數(shù)是否是素數(shù), 設(shè)置變量 表示自然數(shù)是否是素數(shù),循環(huán)變量的范圍是到, 如果在循環(huán)過程中發(fā)現(xiàn)存在除和本身之外的因子, 即, 則立即退出循環(huán), 置為, 最后對進行判斷, 若值為 ,則是素數(shù), 反之則不是。例如, 輸入的自然數(shù)為, 則主程序的循環(huán)變量的范圍是到, 如果和都是素數(shù), 則證明這是一種分解結(jié)果, 輸出即可。
在上述程序的基礎(chǔ)上, 可以對一定范圍內(nèi)的自然數(shù)進行驗證, 判斷哥德巴赫猜想在某一范圍內(nèi)是否成立。利用函數(shù)的特性, 對上述程序中的哥德巴赫猜想驗證問題進行封裝, 并在主程序中更改循環(huán)條件, 函數(shù) 用于哥德巴赫猜想驗證。
類似猜想
德·普利尼亞克猜想
德·普利尼亞克猜想法國數(shù)學(xué)家德·普利尼亞克于1849年提出，其內(nèi)容為：任一偶數(shù)都可以表示成無窮多對相繼的兩個素數(shù)之差。而廣義德·普利尼亞克猜想的內(nèi)容為：任一偶數(shù)都可以表示成無窮多對（含無窮多對相繼的）兩個素數(shù)之差，且當偶數(shù)時，其中其中至少含有一個哥德巴赫素數(shù)對。用公式可表示為,其中偶數(shù)，為奇素數(shù),。
孿生素數(shù)猜想
孿生素數(shù)猜想也叫雙生素數(shù)猜想，即相差為2的素數(shù)有無窮多個，或者表述為偶數(shù)2可以表示成無窮多對兩個素數(shù)之差。
相關(guān)文化
1978年，散文家、詩人徐遲接受《人民文學(xué)》月刊雜志的邀請寫作了以陳景潤證明“陳氏定理”命題為主題的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》。文章在《人民文學(xué)》上發(fā)表后，產(chǎn)生了很大反響，也令中國大陸普通民眾對哥德巴赫猜想留下印象。哥德巴赫猜想是中國民間科學(xué)愛好者熱衷研究的數(shù)學(xué)問題之一。在徐遲的報告文學(xué)影響下，不少民間科學(xué)愛好者對哥德巴赫猜想產(chǎn)生興趣。
此外，廈門大學(xué)還以陳景潤為原型推出了原創(chuàng)話劇《哥德巴赫猜想》，該話劇同時也是“共和國的脊梁——科學(xué)大師名校宣傳工程”的入選項目之一。主要以陳景潤在廈門大學(xué)和中科院的生活為主要線索，緊緊圍繞他與“哥德巴赫猜想”這一世界性數(shù)學(xué)難題的密切關(guān)系展開，講述了他在人生每一階段不斷突破困境，刻苦鉆研、永不放棄自己的數(shù)學(xué)夢想，最終在攻克哥德巴赫猜想的道路上取得歷史性成果的故事。
參考資料 >
數(shù)學(xué)之美 |陳景潤與哥德巴赫猜想.科普中國網(wǎng).2023-03-22
為什么一加一等于二？.成都市人民政府.2023-03-20
《哥德巴赫猜想》在國家大劇院上演.人民網(wǎng).2023-12-23