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在初等數論中，威爾遜定理給出了判定一個自然數是否為素數的充分必要條件。即：當且僅當p為素數時：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )，但是由于階乘是呈爆炸增長的，其結論對于實際操作意義不大。
證明
充分性
如果“p”不是素數，當，若p不是平方數，則存在兩個不等的因數a，b使得;若p是完全平方數即，
必要性
若p是素數，取集合
那么A中的元素是不是恰好兩兩聯會呢? 不一定，但只需考慮這種情況
由此可得:
其余兩兩配對；故而
必要性證明
證明：若p為質數，則p可整除
方法一
，命題顯然成立；
，命題顯然成立；
假設B中被p除余一的數是γa:
一若
二若
由一二三知
a不同時，γ也相異；若，因，，而B中的元素關于mod p不同余，可見
即A中的每一個a均可找到與其聯會的
又，a不同時，γ也相異。
因此，A中的偶數個
∴
∴
從而p可整除
方法二
對于偶質數2，命題顯然成立；
對于奇質數，令中不會有對于除數p同余的兩個數；事實上則，B中的元素不可能被p除盡。于是B中被p除得的余數形成集合
假設b中被p除余一的數是γa:
一若
二若
三若，故應有此與矛盾，故不成立；
由一二三知
a不同時，γ也相異；若，因，而B中的元素關于mod p不同余，可見
依次取a為
即
從而
又
則
從而p可整除
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