余數（英文：remainder），是數學中的用語。在整數除法運算中，如果要讓商是整數，這樣的除法不是總能除盡的。如果商數與除數相乘之后不會大于被除數，那么被除數與這個乘積之差叫做余數。余數有幾個常見的基本性質，如余數等于被除數減去除數與商之積；余數是小于除數的整數等。
余數的概念有著悠久的歷史，早在公元前300年古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》中就已經有了輾轉相除法的陳述。中國的《九章算術》大約成書于東漢初年（公元一世紀），書中把最大公約數稱為“等數”，求兩個數的最大公因數要“以少減多，更相減損”，這種方法與歐幾里得的輾轉相除法是相同的。隨著對數學問題的深入研究，在余數的基礎上產生了同余的概念，即多個整數被一個自然數除所得的余數相同。同余概念豐富了余數在數學上的研究內容。與余數相關的定理也隨之產生，如帶余除法定理、孫子定理、費馬小定理、歐拉定理等。這些定理應用于整除問題的解決中，如帶余除法可以求解最大公因數。
余數及其相關定理在實際問題中應用廣泛，如計算機、工程學、密碼學等領域。在計算機領域，進制數的轉換依賴于余數的計算；在工程學領域，復合偽碼測距是基于單一偽碼測距原理和中國的“中國剩余定理”的深空測距技術之一。
定義
整除
整除的定義：設都是整數，，如果存在一個整數，它能使成立，那么說能被整除，記為
余數
余數定義：在整數的除法中，如果商數與除數相乘之后不會大于被除數，那么被除數與這個乘積之差就叫做余數。
例如：帶余除法，其中是被除數，是除數，為商，是余數。
本文談論的余數在帶余除法的定義之下，被除數、除數為負數的情況不予考慮。
簡史
公元前300年古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第九章命題中有一種著名的算法——輾轉相除法，它是數論和代數中求兩數（或兩式）的最大公約數的重要方法，它的理論基礎是帶余除法。
中國的《九章算術》大約成書于東漢初年（公元100年），書中把最大公因數稱為“等數”，求兩個數的最大公因數要“以少減多，更相減損”，這種方法與歐幾里得的輾轉相除法是相同的。《孫子算經》大約成書于公元400年到500年之間，書中第二十六題“今有物不知其數”是關于孫子定理求解一次同余方程組問題的最早記載。
性質
相關概念
同余
同余的定義：一般地，若兩個整數被一個大于的正整數除得的余數相同，則稱和關于模同余；若余數不同，則稱和關于模不同余。
用數學語言可表示為：
設，當時，，則稱和關于模同余，記作，讀作同余模；
否則，稱和關于模不同余，記作，讀作不同余模
最大公因數
如果是整數，且和都是正整數，若，那么叫做的公約數。公因數中的最大的那一個數叫做的最大公因數，最大公因數是其他公因數的倍數。如果是的最大公因數，記為
質數
質數的定義：一個大于的正整數，如果只能被和它本身整除，那么這樣的正整數叫做質數（素數）。
例如：都是質數。
如果一個正整數除了能被和它本身整除外，還能被另外的正整數整除，那么這樣的正整數叫做復合數。
互質的定義：如果幾個正整數的最大公因數等于，那么這幾個正整數是互質（互素）的，即如果，則是互質的；如果中的每一個數與另外的每一個數都互質，則稱兩兩互質。
相關定理
帶余除法
一般地，已知兩個數 是整數，是正整數，存在唯一的兩個整數，使滿足條件：
其中稱為被除數，稱為除數，稱為不完全商，稱為余數。
孫子定理
設是兩兩互質的正整數。
令則有同余方程組
，有唯一解
這里
費馬小定理
設為整數，為質數，若不能被整除，則
即
歐拉定理
定義：設都是整數，且及，是歐拉函數，它表示小于且與互質的正整數個數，則
由歐拉定理可以得出：若，則同余方程的解為
相關運算
輾轉相除法求最大公因數
方法：設和都是正整數，且，其中和都是正整數，那么和的最大公因數等于和的最大公因數，即
已知存在自然數和，使得
①如果，則有，所以和的最大公因數就是，如果，則有，再以除，得
由得
②如果，則和的最大公因數就是, 所以。如果，有，再以除可得
③如果，則，所以
④如果，再以除，以此輾轉相除。
由于和都是自然數，所以一定存在有一個正整數，使得經過次輾轉相除后有 ，但，這時就是的最大公約數，即
例題 求和的最大公因數。
解：
所以
其他整除運算
例1 在大于的自然數中，共有多少個整數被除后，商與余數相等。
解：已知被除數=余數+除數×商。
可得：所求的數=47×商+余數。因為商與余數相等，故所求的數=47×余數+余數=48×余數。
且余數是小于除數的整數，即余數＜47，而
所以余數的取值范圍在到，即只能取值
答：所求的整數有，一共5個數。
例2 被自然數除時，余數都相等，那么被除，得到的余數是多少。
解：根據同余的性質，若兩個整數被同一正整數除，余數相等，則這兩個整數的差是除數的倍數。
由上述性質，可知與都是的倍數，而與的最大公因數是，又故。于是被除，商是，余數為
相關推廣
多項式整除性
多項式的定義：設是一個數域，是一個文字，形式表達式稱為系數在數域上的一元多項式，或稱數域上的一元多項式，是數域中的數，式中是一個自然數，多元多項式是一元多項式的推廣。
例如：是有理數域上的一元多項式。
多項式的整除性：假定與是兩個多項式，若存在一個多項式，使得，則稱整除，記為。這時叫做的因式，叫做的倍式。
一元多項式的整除性具有以下幾個常用性質：
多項式的帶余除法
假如與是任意兩個多項式，并且，那么一定存在多項式與，使得，其中的次數小于的次數或者，并且這樣的與是唯一確定的。多項式與，分別叫做用除所得的商式與余式。
相關應用
計算機領域
十進制數是最常用的數的進制，基本思想為“逢十進一”，當一位數不夠表示時則用二位數表示。十進制數轉換為二進制數通常采用的方法是商余法，把所要轉換的十進制數除以求余數，余數即為相應二進制數的最低位，然后對商繼續除，求得的余數為相應二進制數的次低位，以此重復下去，直到所得到的商小于，而此時的商就是相應二進制數的最高位。
例如：十進制數的位權表示法，
工程學
復合偽碼測距是能在探月中解決地月距離范圍內對探測器的跟蹤又可解決距離模糊的測距的深空探測技術，基于單一偽碼測距原理和中國的“孫子定理”。
復合偽碼是由若干個周期為的且互為質數的單一子碼按設計邏輯組合并形成所要求長度的測距碼。捕獲測距碼時，采用本地碼和回波碼的碼相關技術，這與的碼相關測距的原理是相同的。采用復合偽碼測距技術，只要復合偽碼的周期滿足一定條件，就可實現對月球探測器的快速跟蹤和無模糊測距。
密碼學
密碼學的作用是使得通信雙方在不安全的信道中以除通信雙方之外的人不能明白和理解的方式進行通信。現代的密碼技術和應用涵蓋了數據處理的所有方面，而在區塊鏈技術的應用和開發中密碼技術是重點，一旦區塊鏈加密方法被破解，則區塊鏈的不可篡改性將消失。
非對稱加密算法常用的是由三位數學家共同設計完成并由三人的名字命名的算法。的加密算法為
，解密算法為，公鑰，私鑰。加密算法的實現原理應用了同余的概念和歐拉函數等。理論上破解算法小于256位的密鑰只需要幾個小時，但是破解2048位的密鑰需要耗費傳統電腦10億年的時間。
參考資料 >
余數.術語在線.2023-12-04