多項式環（英文：多項式 戒指）是環的重要類型之一。其定義為：設R是有單位元的交換環，x是R上的未定元（或變量），R上一切多項式的集合R[x]對多項式的加法和乘法構成一個環，稱為環R上一元多項式環。
16世紀，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Cardano）和費拉里（Ferrari）求得了三次和四次方程的相應求解公式。到18世紀和19世紀，代數的主要內容是求解一元代數方程，其目標是用系數表示方程的根。隨后，經由許多數學家對方程問題的研究工作，發展出了許多有關多項式的復雜理論。環論源于19世紀關于實數域的擴張與分類，以及戴德金（Dedekind）、哈密頓（Hamilton）等人對超復數系的建立和研究。后來，數學家們在環論的基礎上研究多項式，定義了二元以及多元多項式環。19世紀末和20世紀初，多項式環的研究取得進展，戴維·希爾伯特、拉斯克爾和麥考萊證明，在多項式環中每一個理想都是準素理想的有限交，且具有唯一性，即每一個簇都是不可約簇的唯一有限交。
多項式環與整環、諾特環、高斯整環等的概念密切相關，唯一因式分解定理可以推廣到這些環上。代數著名定理——費馬大定理，數論中的中國剩余定理，在多項式環中也有相應的形式。近年來，不少學者對復雜特殊的多項式環——斜多項式環進行了研究。此外，多項式環在現實世界中應用廣泛，如，在密碼學中，基于整數多項式環可設計一種加密算法，提高解密效率。
定義
環
環是定義加法、乘法兩個代數運算的非空集合，并且對于加法成一個尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）群，的乘法滿足結合律，以及乘法對加法的左、右分配律。
多項式環
一元多項式環
設是有單位元的交換環，是上的未定元（或稱是變量），上一切多項式的集合記為，規定的加法是同次項的系數相加、乘法是分配相乘，即其中對多項式的加法和乘法構成一個環，稱為環上一元多項式環。
多元多項式環
數域上的元多項式組成的集合記作連同所定義的加法與乘法構成一個環，它的零元素是零多項式，它有單位元素，即零次多項式。它是交換環，稱為數域上的元多項式環。
簡史
理論起源
多項式論起源于16世紀，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Cardano）和費拉里（Ferrari）求得了三次和四次方程的相應求解公式。隨后，許多數學家參與到方程問題的研究中，如勒內·笛卡爾（Descartes）、約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）等人，發展出許多有關多項式的復雜理論。
環論源于19世紀關于實數域的擴張與分類，以及戴德金（Dedekind）、哈密頓（Hamilton）等人對超復數系的建立和研究。19世紀90年代，埃里·嘉當（Cartan）、弗羅貝尼烏斯（Frobenius）等獨立證明了實數或復數域上有限維結合代數的基本結構定理。1907年韋德玻恩（Wedderburn）在《論超復數》一文中給出更先進的有限維代數的結構定理，成為環結構研究的模式。
后續發展
在環論發展過程中，較為重要的是代數數域和代數函數域中的整數環以及二元和多元多項式環。19世紀末和20世紀初，多項式環的研究取得進展，戴維·希爾伯特、拉斯克爾和麥考萊證明，在多項式環中每一個理想都是準素理想的有限交，且具有唯一性，即每一個簇都是不可約簇的唯一有限交。數學家艾米·諾特（Emmy Noether）在1921年發表的論文《環中的理想論》中推廣多項式環的研究，并得到環中每一個理想都是準素理想的有限交且具有唯一性。她將唯一因子分解理論從多項式環、代數數域以及代數函數域的整環擴展并抽象，得出帶有升鏈條件的抽象的交換環，稱為諾特環。
相關概念
整環
如果環中有元素使得則稱環中的元素為一個左零因子（右零因子），左零因子和右零因子都簡稱為零因子。如果環沒有非平凡的零因子，則稱為無零因子環，有單位元的無零因子的交換環稱為整環。
高斯整環
形如一類特殊的復數，稱為高斯整數，其全體記為。設,對復數加法和復數乘法構成環，稱為高斯整數環。
理想
設是一個環,是的一個非空子集，如果對于減法封閉，即；并且具有“吸收性”，即，則稱是的一個理想或雙邊理想。如果對減法封閉，并具有“左（或右）吸收性”，即(或)，則稱是的一個左（或右）理想。
諾特環
定義：設是一個交換環，如果的每一條理想升鏈都有限，那么稱滿足理想升鏈條件，此時稱是一個諾特環，主理想整環都是諾特環。
由諾特環的定義可知：設是一個交換環，則是諾特環當且僅當的每一個理想是有限生成的。
性質
同態
環上由一個元素生成的環總是多項式環的同態象。
設為環到環的一個同態而且其中是的單位元素，則對任一元素恒可唯一地擴充成上未定元的多項式環到的同態使得
加法和乘法運算的封閉性
環 有兩個代數運算，一個叫做加法，記作另一個叫做乘法，記作，則數域上的一元多項式環的兩個運算滿足下列運算法則：
1.加法結合律，即
2.加法交換律，即
3.乘法結合律，即
4.乘法對于加法的左、右分配律，即
整除性
整除
整除理論可以由數域推廣至多項式論中。設如果存在使得則稱整除記作否則，稱不能整除記作。
當整除時，稱為的因式，稱為的倍式。
帶余除法
對于一元多項式環中任意兩個多項式與其中一定有中的多項式存在，使成立，其中的次數小于或者并且這樣的是唯一決定的。
相關定理
中國剩余定理
設是兩兩互質的正整數。
令則有同余方程組
，有唯一解
這里
多項式環上模的中國剩余定理結論：設為上的一個TOP項序，并且滿足 ，即，是中子模的Grobner基，令為模的范式，則下面3個敘述等價：
(1)(表示空集）；
(2)
(3)
進一步，當時，
費馬大定理
閉域上多項式環的費馬大定理
該定理可以推廣至歐氏環上的多項式環以及唯一分解環上的多項式環，結論仍然成立。
唯一因式分解定理
多項式環中每一個次數大于零的多項式都能唯一地分解成數域上有限多個不可約多項式的乘積。所謂唯一性是指，如果有兩個分解式：
則一定有且適當排列因式的次序后有
下面結論說明，唯一分解定理可以從整環、高斯整環推廣到多項式環上。
整環
定理：
1.如果整環的每個理想都是主理想，則整環叫做主理想整環。域上的一元多項式環是主理想整環。
2.設為一域，為上一元多項式環，為一個次數大于的多項式，則下列敘述等價：
(1)不可約，即不能分解為兩個次數較低的多項式的乘積；
(2)理想為極大；
(3)為一域；
(4)為一整環；
(5)為素理想。
高斯整環
對于多元多項式環，定理仍然成立。
艾森斯坦判別法：設為一高斯整環的商域，為上一元多項式環。
設若有一個不可約元滿足：
1.
2.
則在內不可約，即在內不能寫成兩個正次數多項式的積。
希爾伯特基定理
希爾伯特環形山基定理：如果是一個有單位元的諾特環，那么上的一元多項式環也是諾特環。該定理給出了諾特環與多項式環的關聯。
推論：
1.設是一個有單位元素的諾特環，則上有限多個未定元的多項式環也是諾特環。
2.設為一個有單位元素的諾特環，為上有限生成的交換環且與有相同的單位元素，于是是一個諾特環，而且在上的全部代數關系在多項式環中是有限生成的。
相關推廣
斜多項式環
定義
設環都是有單位元的結合環,是環的一個非零自同態。稱一個映射是環上的一個導子，如果滿足其中。令其中加法是一般多項式加法，乘法滿足則按上述運算構成一個環，稱為擴張。如果則稱為斜多項式環。如果則稱為導數多項式環。
舉例
環定義：設是環的一個自同態，如果對任意的，由可以推出，稱環為環。
由上述定義可得以下結論：
(1)如果環是一個環，則是詣零的；
(2)如果環是一個環，則環是環當且僅當是環；
(3)如果環是一個環且滿足條件，則環是擬環當且僅當是擬環。
相關應用
計算機科學
隨著集成電路的規模變得越來越大、功能越來越復雜，功能驗證已經成為設計流程的主要瓶頸。基于模擬的傳統驗證方法不僅會花費大量的時間，還不能保證完全的驗證覆蓋率，已經無法滿足集成電路設計的要求。基于有限環上多項式為基礎模型，圍繞算術密集型設計的等價性檢驗和定界模型檢驗，對于實現多項式運算的定點數據通路的邏輯門級與寄存器傳輸級之間的等價性檢驗，可有效地解決算術密集型電路的設計驗證問題，提高驗證效率。
密碼學
公鑰加密
由于傳統公鑰加密模式多數只能由單發送方將消息發送給單接收方的限制，在云計算和大數據背景下，一對一加密方式往往難以滿足信息多方交互的需求。基于整數全同態加密方案，設計一種基于整數多項式環的一對一全同態加密算法。通過修改一對一全同態加密算法的密鑰生成方式，擴展加密方個數，構造一種基于整數環的多對一全同態加密方案。在公私鑰尺寸不擴張的情況下，該方案可增加加密方數量，提高解密效率，且連續性較好。
秘密共享
秘密共享作為密碼學的一個原語，廣泛應用在各種密碼系統的構造。通常來說，門限秘密共享是用來保護秘密一種手段，通過將秘密分割成份子份額，其中任意的份組合在一起可以恢復出秘密，即使其中的個參與者不提供子份額。緊耦合秘密共享是指在門限秘密共享中，當參與者人數為時，個參與者作為一個整體，其中的每個人均參與到秘密恢復中，任意的個參與者無法獲取秘密的任何信息。
但是，現有方案中，基于中國剩余定理的緊耦合秘密共享方案和基于約瑟夫·拉格朗日插值多項式的緊耦合秘密共享方案，均存在信息率不為導致效率低下的缺陷。通過基于有限域多項式環上的中國剩余定理來構造出理想型緊耦合的秘密共享方案，其信息率為可提升秘密恢復的效率。
參考資料 >