在抽象代數(shù)中，一個域擴(kuò)張（通常記作L/K）被稱作代數(shù)擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)每個L的元素都是在K上代數(shù)的，即：滿足一個系數(shù)布于K的非零多項(xiàng)式。反之則稱超越擴(kuò)張。
抽象代數(shù)
抽象代數(shù)是描述代數(shù)類型的一個術(shù)語，與近世代數(shù)和一般代數(shù)同義。它是從本世紀(jì)20年代中期發(fā)展起來的，并已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本用語。以前的代數(shù)是高度計(jì)算性的，并且只限于研究一般以實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)為基礎(chǔ)的特定數(shù)系。而抽象代數(shù)與之相反，它是概念性的、公理化的，討論的是非特定的任意元素集合的系統(tǒng)以及滿足已規(guī)定的若干公理的某些合成法。抽象代數(shù)討論若干重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，諸如群、環(huán)、格等，這種結(jié)構(gòu)由一集合S構(gòu)成，它的元素并未指定其性質(zhì)，且在S上賦予了若干個有限重的合成法。如r為一正整數(shù)，一個r重合成法就是使S中任意r個元的組a1，a2，…，ar對應(yīng)于S中唯一的元ω(a1，a2，…，ar)。
在代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中，相當(dāng)大的一部分可以用統(tǒng)一的方法來開展，而不必限定特殊的結(jié)構(gòu)。但抽象代數(shù)較深的方面卻要求對各個系的特殊化，其多樣性在很大程度上是由于它們可應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域及物理學(xué)、化學(xué)等，因而對代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般研究也稱為代數(shù)論，其基本概念有同態(tài)、同構(gòu)等。
抽象代數(shù)有較強(qiáng)的包括新學(xué)科的能力，例如同調(diào)代數(shù)在數(shù)論和群論中都有重要的應(yīng)用，同調(diào)代數(shù)的產(chǎn)物——范疇理論已在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域有所應(yīng)用。
域擴(kuò)張
域擴(kuò)張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴(kuò)張(或擴(kuò)域)，F(xiàn)稱為基域，常記為K/F。此時(shí)，K可以看成F上的向量空間研究擴(kuò)域K(相對于基域F)的代數(shù)性質(zhì)，是域論研究的一個基本內(nèi)容。
若域E是F的擴(kuò)域，K是E的擴(kuò)域，則稱E是域擴(kuò)張K/F的中間域。若K/F是域擴(kuò)張，S是K的子集，且F(S)是K的含F(xiàn)與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴(kuò)域。當(dāng)S={α1，α2，…，αn}是有限集合時(shí)，F(xiàn)(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn于F的有限生成擴(kuò)域(或者F上的有限生成擴(kuò)張).它由一切形如：
f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)
的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項(xiàng)式且：
g(α1，α2，…，αn)≠0.
由于這個原因，當(dāng)F(α1，α2，…，αn)關(guān)于F的超越次數(shù)≥1時(shí)，F(xiàn)(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數(shù)函數(shù)域.當(dāng)S={α}時(shí)，稱F(α)為F的單擴(kuò)張域，也稱本原擴(kuò)域.F的有限代數(shù)擴(kuò)域K是單擴(kuò)域的充分必要條件是，擴(kuò)域K與基域間存在有限個中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
次數(shù)
設(shè)有域擴(kuò)張L/K，L可以看作是K上的向量空間，將其維度稱作這個擴(kuò)張的次數(shù)，記作[L:K]。有限次數(shù)的擴(kuò)張（簡稱有限擴(kuò)張）都是代數(shù)擴(kuò)張；反之，給定一個代數(shù)擴(kuò)張L/K，則L里的任一元素α生成的子擴(kuò)張K(α)/K都是K的有限擴(kuò)張。但代數(shù)擴(kuò)張本身并不一定是有限擴(kuò)張，一個代數(shù)擴(kuò)張可表作有限子擴(kuò)張的歸納極限。
代數(shù)擴(kuò)張與多項(xiàng)式的根
在一個代數(shù)擴(kuò)張L/K中，L里的每個元素α都是某個多項(xiàng)式f(X)的根；這些多項(xiàng)式中次數(shù)最低者稱作α的最小多項(xiàng)式（通常要求領(lǐng)導(dǎo)系數(shù)等于一，以保證唯一性）。最小多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式。若f(X)不可約，則商環(huán)L := K[X]/(f)是K的一個域擴(kuò)張，[L:K] = deg(f)，而且變元X的象是在f在L中的一個根，其最小多項(xiàng)式正是f。通過這種構(gòu)造，我們可抽象地加入某個多項(xiàng)式的根。例如R[X]/(X^2+1)不外就是復(fù)數(shù)域C。當(dāng)在L中分解成一次因子的積，則稱f在L中分裂。根據(jù)上述構(gòu)造，總是可以找到一個夠大的代數(shù)擴(kuò)張K'/K使得f分裂；K'里滿足此性質(zhì)的最小子擴(kuò)張稱作f的分裂域，f的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(gòu)（即：一個限制在K上為恒等映射的環(huán)同構(gòu)）。
正規(guī)擴(kuò)張
一個代數(shù)擴(kuò)張被稱作正規(guī)擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足下述三個等價(jià)條件之一：固定代數(shù)閉包Kalg，任何K上的（即在K上是恒等映射的）域嵌入σ: L → Kalg，都有σ(L) = L。存在一族在L上分裂的多項(xiàng)式(f_i)_{i∈I}?K[X]，使得L/K是在K中添加它們的根生成的域擴(kuò)張。K[X]中任何不可約多項(xiàng)式若在L里有根，則在L里分裂（全部的根都在L里面）。
例子
x^2+1 在R上的分裂域是C。
x^3+2 在Q上的分裂域是Q(e^(2/3πi), ?2)。
(x^2-2)(x^2-3) 在Q上的分裂域是Q(√2, √3)=Q(√2+√3)。
Q(√2)/Q 是正規(guī)域擴(kuò)張， Q(?2)/Q卻不是，因?yàn)楹笳卟]有包括x^3-2的所有根，欠了?2e^(2/3πi), ?2e^(-2/3πi)。
可分?jǐn)U張
設(shè)L/K為代數(shù)擴(kuò)張，如果α的最小多項(xiàng)式沒有重根，則稱α可分（重根的存在性與域擴(kuò)張的選取無關(guān)，可分性等價(jià)于(f, f') = 1，這可以直接在K中計(jì)算）。所有可分元素形成一個中間域K?F?L，[L:K]s := [Ls:K]稱作L/K的可分次數(shù)。若Ls = L，則稱L/K是可分?jǐn)U張。當(dāng)L/K是有限擴(kuò)張時(shí)，定義不可分次數(shù)[L:K]i := [L:K]/[L:K]s。當(dāng)基域的特征為零時(shí)，任何代數(shù)擴(kuò)張都是可分的；任何有限域的擴(kuò)張也都是可分的。
伽羅瓦擴(kuò)張一個正規(guī)而且可分的代數(shù)擴(kuò)張稱作伽羅瓦擴(kuò)張，此時(shí)將在上的自同構(gòu)群記為Gal(L/K)，稱作L/K的伽羅瓦群。就現(xiàn)代的觀點(diǎn)，伽羅瓦理論研究的乃是與Gal(L/K)的子群的對應(yīng)關(guān)系，此對應(yīng)可用伽羅瓦連接抽象地概括。當(dāng)伽羅瓦擴(kuò)張L/K的伽羅瓦群是阿貝爾群時(shí)，此擴(kuò)張稱作是阿貝爾擴(kuò)張。類域論為數(shù)域與局部域的尼爾斯·亨利克·阿貝爾擴(kuò)張?zhí)峁┝司?xì)的描述。
純超越擴(kuò)張
純超越擴(kuò)張是一類重要的超越擴(kuò)張。設(shè)擴(kuò)域K在F上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴(kuò)張為純超越擴(kuò)張，K為F的純超越擴(kuò)域。此時(shí)，K與F上一組未定元X的多項(xiàng)式環(huán)F[X]的分式域(商域)F(X)同構(gòu)，其中X與S的基數(shù)相等。一般地，設(shè)K是F的任一擴(kuò)域，若其超越基為S，則F(S)是F的純超越擴(kuò)域，K為F(S)的代數(shù)擴(kuò)域。這樣，一個域擴(kuò)張可分成兩種特殊的域擴(kuò)張來研究，即FF(S)K。超越次數(shù)為1的純超越擴(kuò)張稱為單超越擴(kuò)張。
參考資料 >