次數大于零的多項式稱為在數域P上是可約的，如果它可以表示為中兩個次數均大于零的多項式的乘積；否則就稱在P上不可約。
設，，如果不能表示成數域F上兩個次數比它低的多項式的乘積，則稱是數域F上的不可約多項式。其中，零多項式和零次多項式既不能說是可約的，也不能說是不可約的；多項式的可約性與多項式所在的數域有關。
概念
不可約多項式，顧名思義即不能寫成兩個次數較低的多項式之乘積的多項式。
有理系數的多項式，當不能分解為兩個次數大于零的有理系靈敏多項式的乘積時，稱為有理數范圍內“不可約多項式”。相應地可以定義實數系數或復數系數的不可約多項式。
“不可約”的意義隨系數范圍而不同。在有理數范圍內是不可約多項式，但在實數范圍內就是可約多項式了。
一種重要的多項式。它在多項式環中有類似于素數在整數環中的地位。對于數域P上的任意多項式f(x)，P中非零數c與cf(x)總是f(x)的因式。這兩種因式稱為f(x)的平凡因式，亦稱當然因式。其他的因式，稱為f(x)的非平凡因式，亦稱非當然因式。設p(x)為P上的一個次數大于零的多項式，如果在P上p(x)只有平凡因式，則稱p(x)在P上(或P[x]中)不可約，亦稱p(x)是P上的不可約多項式，或既約多項式；如果p(x)除平凡因式外，在P上還有其他因式，則稱p(x)在P上(或在P[x]中)可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式。一個多項式是否可約，與其基域有關。例如，在有理數域上不可約，但在實數域上可約，因為此時它有非平凡因式x+與x-。
數域P上的不可約多項式有如下的基本性質：
1。若p(x)不可約，且，則也不可約。
2。若p(x)不可約，f(x)是任一多項式，則或者。
3。若p(x)不可約，且，則或者。
判定
定理1
愛森斯坦判別法：設 是整系數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除
（2）p整除
（3）不能整出
那么 在有理數域上不可約。
注：定理1的證明通常采用“反證法”
定理2
愛森斯坦判別法的等價判別定理：設 是整系數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除
（2）p整除
（3）不能整出
那么在有理數域上不可約。
注：定理1和定理2 都只是判定整系數多項式在有理數域上不可約的充分不必要條件，這就是說不滿足定理1和定理2的判定條件的多項式可能是不可約的。
性質
1、不可約，則對任意。
2、不可約，則對任意的非零，不可約。
3、（1） p(x)不可約，則對任意的， ，得到 或。
（2），對任意 ，可推出得到 或，得到p是不可約多項式。
證明
證明：是整系數多項式
因為P為質數，整系數多項式 符合愛森斯坦判別法，所以整系數多項式 在整數環上不可約，即整系數多項式 在有理數域上不可約。由此可得多項式 在有理數域上不可約。
應用
若m，n為自然數，且m，求證不是任意m次整系數多項式的根。
證明：根據愛森斯坦判別法可知，多項式是一個在有理數域上不可約n次多項式，且是多項式的根。
因為，則對任意的m次多項式g（x），總有多項式互素；
即多項式沒有公共根，所以不是任意m次多項式的根（）。
參考資料 >