二元一次方程組（英文：system of linear equations in two unknowns）指的是由兩個含有相同未知數的一次方程組成的方程組，每個方程可化簡為的形式，其標準形式可以表示為：
二元一次方程組的解存在三種可能，分別為：一組解、無數組解、無解。
包含二元一次方程組在內的方程工具的運用是代數研究的重要內容，在求解實際問題中具有重要的運用。
歷史
方程組的運用是代數學發展過程中的重要內容，可以追溯到數千年前。資料表明，早在古埃及和巴比倫，已經能求夠解二元一次方程組。古希臘時期，數學家丟番圖（Diophantus）著有《算術》一書，對解方程進行了詳盡分析。
在古代中國，對方程組也有許多研究成果。在《九章算術》中，收集了很多關于二元一次方程組的問題，并給出完整的解法，稱為“盈不足術”。《孫子算經》中列舉了一道“雞兔同籠”問題，并利用盈不足術給出解法。其他古代中國經書，如《張丘建算經》《數書九章》等也對類似問題進行了研究。
在西方，對線性方程的研究始于17世紀后期。18世紀上半葉，蘇格蘭數學家科林·麥克勞林（Colin Maclaurin）與瑞士數學家加百列·克萊姆（Gabriel Cramer）對線性方程組進行了研究，先后發現了克萊姆法則。法國數學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss）在前人研究的基礎上提出了用于求解方程組的高斯消元法。18世紀下半葉，法國數學家艾蒂安·貝祖(étienne Bézout)證明了線性方程組無解需滿足的條件。19世紀，英國數學家史密斯H.J.S(Smith, Henry John Stanley) 和道奇森 (Charles Dodgson)先后將增廣矩陣的概念引入并應用于解方程，在現代方程理論中具有重要運用。
基本概念
定義
二元一次方程組指的是由含有兩個相同未知數的二元一次方程組成的一組方程。所謂的二元一次方程，指的是該方程中未知數的個數為2，且未知數項的次數都是1的方程，其標準形式是（其中表示常數，且 )。
二元一次方程組的一般形式可以表示為：
其中不全為零，也不全為零。
例如，和均為二元一次方程，并且含有相同的未知數，則它們可以構成一個二元一次方程組。此方程組可以表示為的形式。如果兩個二元一次方程包含的未知數不全相同，不能構成一個二元一次方程組。
二元一次方程組的解
二元一次方程組的解，指的是同時滿足方程組中兩個二元一次方程左、右兩邊相等的值。由于對于任意一個二元一次方程而言，方程的解有無數個，因此二元一次方程組的解也是這兩個二元一次方程的共同解。
一個二元一次方程組可能存在一組解、無數組解、無解三種情況。
1. 有一組解
例如，方程組的唯一解為：。
2. 有無數組解
例如，方程組存在無數組解。事實上，這種情況下兩個方程為同一個方程。
例如，方程組無解，因為兩個方程存在矛盾。
對于某一個二元一次方程組，可以從系數判斷其是否存在解。
當時，該方程組有一組解。
當時，即，
如果 ，該方程組有無數組解。
當 時，即，
如果 ， 該方程組無解。
幾何意義
對于二元一次方程而言，其圖像上可以表示為一條直線。該直線必經過點和點。直線上的點均滿足二元一次方程。
對于二元一次方程組而言，如果方程的曲線為直線，方程的曲線為直線，則二元一次方程組的圖像為在同一平面的兩條直線。而直線的交點正是該方程組的解。
求解方法
二元一次方程組的解法主要采用的是消元思想，即通過對兩個方程組進行代入、加減等處理，可以化為一元一次方程，從而求出先求出一個未知數，進而求出第二個未知數。此外，比較法、公式法、圖像法也是求解的常見方法。
代入消元法
利用方程組的一個方程，可以將其中一個未知數表示為含另外一個未知數的式子，將該式子代入第二個方程，可以消去其中一個未知數，這種方法稱為代入消元法（elimination by substitution），簡稱代入法。
通過以下例子來介紹代入消元法的具體步驟。
求解方程組
記為①式，為②式，利用代入消元法求解的過程如下：
（1）換元：由①式可得：，記為③式；
（2）代入：將③式代入②式可得，記為④式；
（3）求解：由④式可解得：;
（4）代回求解：將代回①式可得并求解可得：，
因此方程組的解為：。
加減消元法
如果兩個方程中，同一個未知數的系數相等（互為相反數），可以將方程的兩邊分別相加（相減），從而消去該未知數，得到一個一元一次方程，這種方法稱為加減消元法。
通過以下例子來介紹加減消元法的具體步驟。
求解方程組
記為①式，為②式，利用加減消元法求解的過程如下：
（1）變形：選取某個未知數，通過方程變形使得兩個方程中對應未知數的系數相等（互為相反數），如果已經存在系數相等（互為相反數）的未知數，則無需此步驟。例如在本問題中，兩個方程中的系數均為1，如果要消去，則無需變形。
（2）加減：②-①消去可得，，記為③式；
（3）求解：求解③式可得：;
（4）代回求解：將代回①式可得并求解可得：，
因此方程組的解為：。
比較法
分別用兩個方程將其中一個未知數使用含另外一個未知數的表達式表示，由于這兩個表達式相等，兩式相等可以得到一個一元一次方程，這種方法稱為比較法。
通過以下例子來介紹加減消元法的具體步驟。
求解方程組
記為①式，為②式，利用加減消元法求解的過程如下：
（1）換元：由①式可得：，記為③式；
由②式可得：，記為④式；
（2）聯立：③式和④式可得到一元一次方程，記為⑤式；
（3）求解：求解⑤式可得：；
（4）代回求解：將代回①式可得并求解可得：，
因此方程組的解為：。
公式法
二元一次方程組，如果存在唯一解，即時，
則該解可以表示為：
也可用行列式表示：
利用上述公式直接解方程的方法稱為公式法。
求解方程組
利用公式法求解需要先將方程組化為標準形式：
式中，。
代入求解公式可得：
，
，
因此方程組的解為：。
圖像法
二元一次方程組還可以用做圖像的方法，即將相應二元一次方程改寫成一次函數的表達式在同坐標系內畫出圖像，兩條直線的交點坐標即二元一次方程組的解，以此求解方程組的方法稱為圖像法。
求解
如右圖所示，分別畫出直線和的圖像，可以看到兩條直線存在一個交點，也就是該方程組的解為：。
應用
雞兔同籠
在實際數學問題中，方程是解決問題的一種重要工具。例如，對于“雞兔同籠”類問題的求解，二元一次方程組是重要的解法。
“雞兔同籠”出自于中國南北朝時期的《孫子算經》中。該問題的描述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、 兔各幾何？答曰 : 雉二十三；兔一十二。術曰 : 上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。”
用現代文可以翻譯為：“一個籠子里有雞和兔，從上數有35個頭，往下數有94只腳，問雞和兔各有多少只？”
如果假設雞有只，兔有只，根據題意可以列出方程組：
“雞兔同籠”便轉化為二元一次方程組的求解。
線性方程組
在實際運用中，往往涉及到問題中未知數個數超過三個，并且方程的個數不一定等于未知量的個數。含有個未知量、個方程的線性方程組可以表示為：
其中系數，常數都是已知數，是未知數。當常數項不全為零時，稱為非齊次線性方程組，否則為齊次線性方程組。可以通過一個由系數與常數組成的矩陣來描述上述線性方程組，如下所示：
上述矩陣稱為該線性方程組的增廣矩陣，線性方程組可改寫為矩陣乘積形式：。
矩陣和線性方程組是線性代數的核心概念，利用矩陣理論求解線性方程是線性代數的重要內容。對求解線性方程組的研究是一個很熱門的課題，因為它是數學與其他自然和社會科學結合最多的內容之一，例如幾何學、運籌學、經濟學等。很多研究領域的問題可以抽象為一個線性系統，而非線性系統有時也近似地簡化為線性系統，對線性系統的研究最后歸結到線性方程組的求解問題。
參考資料 >
Systems of Linear Equations - Two Variables.libretexts.2023-05-28