克萊姆法則，又譯克拉默法則（Cramer's Rule）是線性代數中一個關于求解線性方程組的基本定理。它適用于變量和方程數目相等的線性方程組，它的意義主要在于它給出了方程組解與系數的明顯關系。是瑞士數學家克萊姆（1704-1752）于1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。其實萊布尼茲〔1693〕，以及科林·麥克勞林〔1748〕亦知道這個法則，但他們的記法不如克萊姆。
對于多于兩個或三個方程的系統，克萊姆的規則在計算上非常低效；與具有多項式時間復雜度的消除方法相比，其漸近的復雜度為O（n·n！）。即使對于2×2系統，克拉默的規則在數值上也是不穩定的。
作者介紹
克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數學家 1704-1752）克萊姆1704年7月31日生于日內瓦，早年在日內瓦讀書，1724 年起在日內瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾市與約翰．伯努利、長城歐拉等人學習交流，結為摯友。后又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家，回國后在與他們的長期通信 中，加強了數學家之間的聯系，為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他一生未婚，專心治學，平易近人且德高望重，先后當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、意大利等學會的成員。
主要著作是《代數曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入坐標系的縱軸（Y軸），然后討論曲線變換，并依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5 個點的一般圓錐曲線的系數，應用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的系數確定方程組解的表達式。該法則于1729年由英國數學家科林·麥克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符號使之流傳。
基本介紹
一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。使用克萊姆法則求線性方程組的解的算法時間復雜度依賴于矩陣行列式的算法復雜度，其復雜度為，一般沒有計算價值，復雜度太高。對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法。
n元線性方程組的概念
在引入克萊姆法則之前，先引入有關n元線性方程組和有關矩陣、行列式的概念。含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。
當其右端的常數項不全為零時，線性方程組⑴稱為非齊次線性方程組。
令，其中A是線性方程組的系數矩陣，X是由未知數組成的列向量，是由常數項組成的列向量。線性方程組⑴的矩陣形式為。
當常數項全為零時，線性方程組⑵稱為齊次線性方程組，即：
線性方程組(2)的矩陣形式為
定理
記法1：若線性方程組⑴的系數矩陣可逆（非奇異），即系數行列式。有唯一解，其解為
記法2：若線性方程組⑴的系數矩陣可逆（非奇異），即系數行列式，則線性方程組⑴有唯一解，其解為
其中是把D中第j列元素對應地換成常數項而其余各列保持不變所得到的行列式。
記法1是將解寫成矩陣（列向量）形式，而記法2是將解分別寫成數字，本質相同。
證明
充分性：設A可逆，那么顯然是的一個解。又設是其他不為的解，即。兩邊同時左乘A得
上面兩式矛盾，因為不存在其他不為X0的解，故是的一個解。
必要性：設的唯一解。如A不可逆，齊次線性組就有非零解，
也是的一個解，矛盾，故不可逆，證畢。
推論
n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數行列式為零。等價地，方程組有唯一的零解的充要條件是系數矩陣的行列式不為零，其矩陣可逆。
法則總結
1. 克萊姆法則的重要理論價值：研究了方程組的系數與方程組解的存在性與唯一性關系;與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。
2.應用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:
（1）當方程組的系數行列式不等于零時，則方程組有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那么方程組的系數行列式必定等于零
(3)克萊姆法則不僅僅適用于實數域，它在任何域上面都可以成立。
3.克萊姆法則的局限性：
（1）當方程組的方程個數與未知數的個數不一致時，或者當方程組系數的行列式等于零時，克萊姆法則失
效。
（2）運算量較大，求解一個N階線性方程組要計算個N階行列式。
技術應用
克萊姆法則在解決微分幾何方面十分有用。
先考慮兩條等式和。因為u和v都是沒相關的變數，我們可定義和。
找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單應用。
首先，我們要計算F、G、x和y的導數：
將dx和dy代入dF和dG，可得出：
因為u和v都沒有關系，所以du和dv的系數都要等于0。所以等式中的系數可以被寫成：
用克萊姆法則就可得到：
用類似的方法就可以找到。
不相容和不確定的情況
當方程組沒有解時，稱為方程組不兼容或不一致，當存在多個解決方案時，稱為不確定性。對于一次方程，不確定的系統將具有無窮多的解（如果它在無限域上），因為解可以用一個或多個可以取任意值的參數來表示。
克拉默規則適用于系數行列式非零的情況。在的情況下，如果系數行列式為零，則如果分子決定因子為非零，則系統不兼容，如果分子決定因素為零，則系統不兼容。
對于或更高的系統，當系數行列式等于零時，唯一可以說的是，如果任何分子決定因素是非零的，那么系統必須是不兼容的。然而，將所有決定因素置零都不意味著系統是不確定的。系統的一個簡單的例子，其中所有決定因素消失（等于零）但系統仍然不兼容。
參考資料 >