“龐加萊群”是天文學專有名詞，同時在物理學與數學中也具有重要意義。它是狹義相對論中赫爾曼·閔可夫斯基時空的等距同構群，由赫爾曼·閔可夫斯基引進，以法國數學家亨利·龐加萊命名。龐加萊群是一種有10個生成元的非阿貝爾群，在物理學上扮演著基礎級別的重要角色。
基本解釋
等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延后了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那么你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那么你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。
如果我們無視重力效應的話，那么一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。
如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之后再執行另一個），那么所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限于上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個群。也就是說，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定群的名字叫做“龐加萊群”。
在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用于絕對時空。而在伽利略·伽利萊群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯系兩個共動慣性參考系的錯切變換。
龐加萊群的物理學與數學意義
龐加萊群是赫爾曼·閔可夫斯基時空的等距同構群，它是一種十維的非緊李群。在物理學中，龐加萊群是任何相對論性量子場的完全對稱群，所有基本粒子都能成為這個群表示的一部分。龐加萊群的正能量幺正不可約表示與量子力學的粒子有關，由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記。
龐加萊群的結構包括平移的阿貝爾群作為一個正規子群，亨德里克·洛倫茲群作為一個子群，原點的穩定子群。龐加萊群本身是仿射群的最小子群，包括了所有的變換與洛倫茲變換。龐加萊群可以視為洛倫茲群的群擴張，而擴張的部分則是它的向量群表示，有時也被稱為“非均勻洛倫茲群”。
亨利·龐加萊群的李代數，即龐加萊代數，通過平移生成元P和洛倫茲變換生成元M，以及赫爾曼·閔可夫斯基度規η定義了一系列的交換關系。龐加萊代數的卡西米爾不變量有助于標記群表示，對于理解粒子的性質至關重要。
龐加萊對稱與相對論性不變性
龐加萊對稱是狹義相對論的完全對稱，包括時間與空間中的平移（P）、空間中的旋轉（J）和直線性洛倫茲變換（K）。這些對稱性的生成元組合起來形成了龐加萊群，它是平移群與亨德里克·洛倫茲群的半直積。在龐加萊群下不變的物理量具有龐加萊不變性或相對論性不變性。
與愛爾蘭根綱領一致，赫爾曼·閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規定。作為拓撲空間，龐加萊群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。這些連通區的存在對于理解龐加萊群的結構和表示具有重要意義。
與古典物理學的關系
在古典物理學中，對應龐加萊群的群是伽利略群，它也是有十個生成元的，作用于絕對時空。伽利略·伽利萊群中的直線性洛倫茲變換被錯切變換所取代，這反映了非相對論性物理學中的時空觀念。龐加萊群的出現標志著從伽利略對稱性到相對論性對稱性的轉變，為理解現代物理學中的時空提供了關鍵的數學工具。
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