半直積是從其中一個是正規(guī)子群的兩個子群形成一個群的特定方法。
正文
在數(shù)學中，特別是叫做群論的抽象代數(shù)領域中，半直積(semidirect product)是從其中一個是正規(guī)子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的勒內(nèi)·笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。
一些等價的定義
令G為群，N為G的一個正規(guī)子群，并且H是G的一個子群。下列命題等價:
1）(其中e是G的幺元)
2）G的每個元素可以寫作唯一的N的一個元素和H的一個元素的積
3）G的每個元素可以寫作唯一的H的一個元素和N的一個元素的積
4）自然的嵌入 和自然的投影的復合，給出一個在H 和G/N之間的同構(gòu) 存在同態(tài)，它的像是H本身而其核是N
如果這些命題中的一個(從而所有)成立，則稱G是一個N和H的半直積，或者說G在N上“分裂(splits)”，并寫作。
基本事實和提醒
若G是正規(guī)子群N和子群H的半直積，而且N和H都是有限的，則G的階等于N和H的階的積。
注意，和直積的情況不同，半直積通常不是唯一的；如果G和G' 是兩個群，都包含N為正規(guī)子群，并且都包含H為子群，而且二者都是N和H的半直積，則未必G和G' 是同構(gòu)的。
外半直積
若G是一個N和H的半直積，則映射(其中表示N的所有自同構(gòu)組成的群)(定義為對于所有H中的h和N中的n)是一個群同態(tài)。實際上N, H 和 φ 一起確定了G 最多相差一個同構(gòu)，如下面所證。
給定任意兩個群N和H（不必是某個群的子群）和一個群同態(tài)，我們定義一個新群，N和H相對于φ的半直積，如下: 基礎的集合是集合直積，而群運算*給定為
對于所有中的和H中的。這確實定義了一個群；其幺元為而元素的逆為是同構(gòu)于N的正規(guī)子群,是同胚于H的子群，而該群是這兩個子群在上面給出的意義下的半直積。
現(xiàn)在反過來假設我們有上述定義的內(nèi)半直積，也就是說，一個群G有一個正規(guī)子群N,一個子群H，并且使得G的每個元素g 可以唯一的寫成的形式，其中n在N中而h在H中。令為如下同態(tài)
. 則G同構(gòu)于外半直積; 該同構(gòu)把乘積nh映到2元組。在G中，我們有如下規(guī)則
而這是上述外半直積的定義的深層原因，也是一個記住它的方便辦法。
群的分裂引理（splitting lemma）的一個版本稱群G同構(gòu)于兩個群N和H的半直積當且僅當存在短正合序列
和一個群同態(tài)使得, H上的恒等映射。在這種情況, 給出如下
例子
有 2n個元素的二面體群Dn 同構(gòu)于循環(huán)群Cn 和C2的半直積。這里，C2的非單位元作用于Cn，將元素變成其逆；這是一個自同構(gòu)因為Cn是交換群。
平面的剛體運動群(映射使得x和y之間的歐氏距離等于之間的距離對于所有在R中的x和y成立)同構(gòu)于交換群R (描述平移)和正交 2×2矩陣的群O(2)(描述轉(zhuǎn)動和反射)的半直積。每個正交矩陣通過矩陣乘法作用在R上，并且是一個自同構(gòu)。
所有正交矩陣的群(直觀的講，所有n維空間的所有轉(zhuǎn)動和反射的集合)同構(gòu)于群SO(n) (所有行列式值為1的正交矩陣，直觀的講n維空間的轉(zhuǎn)動的集合)和C2的準直積。如果我們將C2表示為矩陣{I, R}的乘法群，其中R是n維空間的翻轉(zhuǎn)(也就是行列式為-1的正交對角矩陣),則由對所有 在C2中的H 和中的N給出.
與直積的關系
假設G是一個正規(guī)子群N和子群H的半直積。若H也在G中正規(guī)，或者說，若存在一個同態(tài)是N上的恒等映射，則G是N和H的直積。
兩個群N和H的直積可以視為N和H相對于(對于所有H中的h)的外半直積。
注意在直積中，因子的次序不重要，因為同構(gòu)于。這在半直積中不成立，因為兩個因子的角色不同。
推廣
半直積的構(gòu)造可以推得更廣。在環(huán)理論中有一個版本，環(huán)的交叉積（crossed product of rings）。一旦構(gòu)造了群的一個半直積的群環(huán)，這可以很自然的看出。還有李代數(shù)的半直和。給定拓撲空間上的一個群作用，存在一個相應的交叉積，它通常非交換，即使群是可交換的。這樣的環(huán)在群作用的軌道空間有重要作用，特別是當該空間不能用常規(guī)的拓撲技術處理的時候 - 例如在阿蘭·科納的工作中（細節(jié)請參見非交換幾何）。
在范疇論中也有推廣。它們表明了如何從“指標范疇(indexed categories)”構(gòu)造“纖維范疇(fibred categories)”。這是外準直積的抽象形式。
參看
圈積(Wreath product)
參考資料 >