標準正交基（Orthonormal Basis），也稱法正交基，是高等數學的一個概念。如果有限維歐氏空間V中的一個基兩兩正交或是由單個非零向量所成的向量組是正交向量組，則稱這個基為V的正交基；如果這個基還是由單位向量組成的標準正交向量組，則稱之為V的標準正交基。
大約公元前350年前，古希臘學者亞里士多德在研究力學問題時發現兩個力的合成可以用平行四邊形法則得到。隨著向量概念的引入和向量空間的形成，數學家們開始研究向量空間中基的概念。
隨著數學軟件的發展，正交基的計算變得更加方便，進一步推動了正交基理論在計算數學、量子力學和計算機科學等領域中的實際應用。如將標準正交基用于信道編碼。通過結合密鑰和隨機標準正交基的音頻偽裝方法可充分利用隨機標準正交基重構不同精度的秘密音頻，且隨著選取的幅值系數增多，恢復的秘密音頻質量也越來越好，同時所述策略嚴格依賴于密鑰，只有掌握正確密鑰的用戶才能進行高精度的重構。
簡史
大約公元前350年前，古希臘學者亞里士多德在研究力學問題時發現兩個力的合成可以用平行四邊形法則得到。隨著向量概念的引入和向量空間的形成，數學家們開始研究向量空間中基的概念。
性質
有限維歐氏空間標準正交基具有以下性質：
1.任一有限維歐氏空間必有標準正交基。
2.維歐氏空間的任意一個標準正交向量組都可以擴充為的標準正交基。
3.維歐氏空間的基是標準正交基的充分必要條件是它的度量矩陣是單位矩陣。
4.維歐氏空間的基是標準正交交基的充分必要條件是它的度量矩陣是單位矩陣。
相關定理
性質：設是維歐氏空間，任一向量在標準正交基下的坐標是，則
（1）；
（2）；
（3）設向量在標準正交基下的坐標是，則.
推論：設是維歐氏空間，任一向量在標準正交基下的坐標分別是，則
（1）
（2）
（3）
由于歐氏空間中的標準正交基有這些很好的性質，所以在討論歐氏空間中的問題時，總是取它的一個標準正交基，而不是一般的基。
證明
設是維歐氏空間的一個基，對任意的.
若
則下列條件是等價的：
1.是的標準正交基。
2.
3..
4..
5..
任意的維歐氏空間都存在標準正交基，且可以從的任一個基出發按照一定的程序求得（施密特正交化）.
相關概念
正交矩陣
設與是維歐氏空間的兩個標準正交基。
令其中.
則
于是
而
因此可得
即得
則稱是一個正交矩陣
標準正交基與正交矩陣的關系：
設是維歐氏空間的一個標準正交基，且則是的標準正交基的充分必要條件為是正交矩陣。
相關證明
有限維歐式空間標準正交基存在性
施密特正交化
設是線性無關的向量組，取再取
，
，
，
得到正交向量組且施密特正交化方法可由維歐氏空間的任一個基得到正交基，再單位化可得到標準正交基。因此，任何有限維歐氏空間（酉空間）必有標準正交基。
推廣
完全規范正交系
從有限維歐氏空間的標準正交基概念出發，構建了無限維歐氏空間的完全規范正交系理論。從而體現了泛函分析中無限維歐氏空間的完全規范正交系是線性代數中有限維歐氏空間的標準正交基的自然推廣。
定理：設是Hilbert空間，為Hilbert空間中的有限或可數規范正交系，則下列命題等價：
（1）對；
（2）
（3）
（4）成立Parseval等式：
證明：若不完備，則，使得
但由封閉性有，茅盾
若則，即所以因此但由投影定理，
設收斂于則對任何正整數，有
又對中一切使的向量，有.
因此，由的完全性，得到即所以由此得到
由于在Hilbert空間中，收斂于中的元不需要任何條件。所以成立。
應用
計算數學
根據歐氏空間中向量空間和點積的定義，構造出一組新的歐式空間基函數并證明該基函數為正交基函數，同時給出了該組正交基函數的對偶基函數及其升階算法。根據泛函分析中內積的定義、基函數的定義構造歐式空間的基函數，并證明該基函數是歐式空間的正交基函數。對后續研究歐式空間曲線、曲面有著重要意義。
量子力學
在量子力學中，描述粒子狀態的波函數通常是無限維的向量。為了能夠計算這些波函數的內積（即概率密度），需要在一組標準正交基函數下展開。這組基函數滿足點積為零的性質，且每個基函數的模長為1，這使得概率密度易于計算。當某個裝置處理和計算的是量子信息，運行的是量子算法時，它就是量子計算機。與經典計算機不同，量子計算機可以做任意的么正變換，在得到輸出態后，進行測量得出計算結果。量子計算機對每一個疊加分量進行變換，所有這些變換同時完成，并按一定的概率幅疊加起來，給出結果的這種計算稱為量子并行計算。
計算機科學
在通信系統中，標準正交基用于信道編碼。傳統基于Tangram的音頻偽裝方法所采用的變換模型為仿射變換模型，變換精度低且不滿足基本的正交關系，從而無法保證秘密音頻與公開音頻之間的擬合精度，同時當分段變換音頻為恒值序列時，需添加隨機擾動以保證變換后音頻的恢復質量，由此會降低信道傳輸音頻的聽覺質量。針對此問題，提出一種結合密鑰和隨機標準正交基的音頻偽裝方法。通過此種方法可充分利用隨機標準正交基重構不同精度的秘密音頻，且隨著選取的幅值系數增多，恢復的秘密音頻質量也越來越好，同時所述策略嚴格依賴于密鑰，只有掌握正確密鑰的用戶才能進行高精度的重構。
參考資料 >