正交化是指將線性無關(guān)向量系轉(zhuǎn)化為正交系的過程。設(shè)xn是內(nèi)積空間H中有限個或可列個線性無關(guān)的向量，則必定有H中的規(guī)范正交系en使得對每個正整數(shù)n（當(dāng)xn只含有m個向量，要求n≤m），xn是e1，e2，…，en的線性組合。
簡介
線性無關(guān)向量組未必是正交向量組，但正交向量組又是重要的，因此就有一個問題：能否從一個線性無關(guān)向量組 出發(fā)，構(gòu)造出一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，并且使向量組 與向量組等價(jià)（ ）呢？回答是肯定的，通過施密特正交化方法就可以實(shí)現(xiàn)。
設(shè){}是內(nèi)積空間H里面可列個或有限個線性無關(guān)的向量，則必定存在H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系{ }使得對每個正整數(shù)n（當(dāng){}中只含有m個向量，要求），xn是 的線性組合。
證明
下面就來介紹這個方法，由于把一個正交向量組中每個向量經(jīng)過單位化，就得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，所以，上述問題的關(guān)鍵是如何由一個線性無關(guān)向量組來構(gòu)造出一個正交向量組，我們以3個向量組成的線性無關(guān)組為例來說明這個方法。設(shè)向量組線性無關(guān)，我們先來構(gòu)造正交向量組 ，并且使與向量組等價(jià)（）。按所要求的條件，是 的線性組合，是 的線性組合，
為方便起見，不妨設(shè)
其中，數(shù)值k的選取應(yīng)滿足與垂直，即 ，注意到
于是得 ，
從而得 ，
對于上面已經(jīng)構(gòu)造的向量與，再來構(gòu)造向量 ，為滿足要求，可令，其中， 的選取應(yīng)滿足分別與向量與 垂直，
即
此解得
于是得
容易驗(yàn)證，向量組是與等價(jià)的正交向量，若再將單位化，即令（）則就是滿足要求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。
施密特正交化
施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求歐氏空間正交基的一種方法。從歐氏空間任意線性無關(guān)的向量組出發(fā)，求得正交向量組 ，使由與向量組等價(jià)，再將正交向量組中每個向量經(jīng)過單位化，就得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，這種方法稱為施密特正交化。
參考資料 >
正交化.中國知網(wǎng).2017-11-24