正交矩陣（英文：Orthogonal matrix）是一種實矩陣，指正交變換在標準正交基下的矩陣，即滿足AAT=E的n階實矩陣，其中AT 是矩陣A的轉置矩陣，E是單位矩陣。
英國數學家凱萊（Cayley）是第一個把矩陣作為獨立的數學概念提出的人，并在1858年發表了論文《矩陣論的研究報告》，文中系統地闡述了關于矩陣的理論，定義了矩陣的一系列基本概念。后來，1878年德國數學家弗羅伯紐斯（Frobenius,1849-1917）在討論最小多項式問題過程中，引進矩陣的秩的概念。在之后的整理工作中，弗羅伯紐斯給出了不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，并討論了關于正交矩陣的一些重要性質。
正交矩陣具有一些性質：如任何正交矩陣的行列式要么是要么是若 都是正交矩陣，則及也是正交矩陣；若為正交矩陣，則的轉置矩陣、逆矩陣和伴隨矩陣也是正交矩陣等。將正交矩陣的概念從實數擴展到復數，正交矩陣在復數域中叫做酉矩陣。利用賦范向量空間中的廣義正交性，可推廣并引入廣義正交矩陣的概念。正交矩陣有著廣泛的應用，如在攝影測量學中，與慣用的迭代解法相比，正交矩陣反問題進行絕對定向的快速直接解法具有求解精度高，計算時間短的特點，在實際中具有更好的應用價值。
簡史
英國數學家凱萊（Cayley）是第一個把矩陣作為獨立的數學概念提出的人，并在1858年發表了論文《矩陣論的研究報告》，文中系統地闡述了關于矩陣的理論，定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基本概念。后來，1878年德國數學家弗羅伯紐斯（Frobenius,1849-1917）在討論最小多項式問題過程中，引進矩陣的秩的概念。在之后的整理工作中，弗羅伯紐斯給出了不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，并討論了關于正交矩陣的一些重要性質。
定義
正交矩陣是一種實矩陣，指正交變換在標準正交基下的矩陣，即滿足的階實矩陣
若是正交矩陣，則當時，稱為第一類正交矩陣或旋轉矩陣；當時，稱為第二類正交矩陣或鏡面反射矩陣。給定階正交矩陣由得從而
因此即的不同行（列）是正交的。上述兩個等式組都稱為正交條件，都是實矩陣為正交矩陣的充分必要條件。此外,也是實矩陣為正交矩陣的充分必要條件。正交矩陣的特征值的模為因而它的實特征值只可能為。任一實滿秩階矩陣都可以惟一地分解成其中是實正交矩陣,是主對角線元素大于零的上三角矩陣。對于對稱矩陣必有正交矩陣使為對角矩陣，其對角元是的全體特征值。
舉例
1.階單位矩陣
2.二階正交矩陣：
3.三階正交矩陣：
相關概念
正交變換
定義：設是歐氏空間的線性變換，如果保持向量的點積不變，即對任意都有則稱為的正交變換。
與正交矩陣的關系：正交變換關于的任意一組標準正交基的矩陣是正交矩陣。
酉變換
定義：設是酉空間,是上的線性變換。如果保持向量的點積不變，即對任意的成立，則稱是酉變換。
設是酉空間上的線性變換,是在標準正交基下的矩陣，則若是酉變換是酉矩陣。
酉矩陣
定義：酉矩陣一種復矩陣，指酉空間的酉變換在標準正交基下的矩陣，即滿足的復矩陣其中是的轉置共軛矩陣。
例如 矩陣因為
所以為酉矩陣。
顯然正交矩陣（實矩陣）是酉矩陣的特例，即當是實矩陣時，酉矩陣與正交矩陣相同；但存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
實對稱矩陣
定義：指歐氏空間的對稱變換在標準正交基下的矩陣，即元素全是實數的對稱矩陣
實對稱矩陣的特征值全為實數。在實歐氏空間中，對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交，且在中存在個列特征向量組成的標準正交基使
為實對角矩陣，其對角線上的元素為的特征值,為正交矩陣。稱為的特征向量的一個完備系。
性質
正交矩陣具有以下一些性質：
1.任何正交矩陣的行列式要么是要么是即
2.若為正交矩陣，則的轉置矩陣、逆矩陣和伴隨矩陣，即也是正交矩陣；
3.若 都是正交矩陣，則及也是正交矩陣；
5.設向量為階正交矩陣，則有
6.全體階實正交矩陣的集合，對于矩陣的乘法構成一個群，稱實正交矩陣群，記作
7.全體階幺模實正交矩陣的集合，對于矩陣的乘法構成一個群，稱幺模實正交矩陣群，記作
8.正交矩陣是規范方陣，正交矩陣正交相似于標準形；
9.正交矩陣群的李代數由反對稱矩陣組成；反過來，任何反對稱矩陣的矩陣指數都是一個正交矩陣。
構造方法
格拉姆-施密特正交化
規范正交向量組必為線性無關的向量組。反之，線性無關的向量組卻未必是規范正交向量組。但卻可以按下述方法求出與之等價的規范正交向量組。
設是線性無關的向量組，令則是正交向量組。再令所得到的即為與等價的規范正交向量組。這種方法稱為格拉姆-施密特正交化方法，或規范正交化方法，是構造正交矩陣的一種方法。
李雅普諾夫函數優化法
引理：對于擾動系統其中:為Hurwitz矩陣;為擾動輸入;
或有實正定對稱解
正交矩陣的構造方法：對于引理中的矩陣如果存在正交矩陣以及和使所分解的對稱矩陣和反對稱矩陣滿足以下條件，
其中和滿足式則為正交矩陣。
推廣
廣義正交矩陣
為了推廣正交矩陣理論，利用賦范向量空間中的廣義正交性，引入了廣義正交矩陣的概念，并對廣義Birkhoff正交矩陣進行了討論，給出了廣義Birkhoff正交矩陣可逆的充分條件。
定義：令矩陣其中。若為
空間上的廣義Birkhoff正交組，則稱矩陣為廣義Birkhoff正交矩陣。若為空間上的廣義正交組，則稱矩陣為廣義正交矩陣。
從定義易知，當為內積空間時，廣義正交矩陣就是正交矩陣，且矩陣的廣義正交性與空間的范數存在著必然的聯系，可以認為矩陣的廣義正交性由范數確定。對于范數，廣義正交矩陣總是存在的，如單位陣等。
廣義Birkhoff正交矩陣可逆的條件：令為上的廣義Birkhoff正交矩陣，若嚴格凸，則可逆。
證明：當時，結論是顯然的。設為上的廣義Birkhoff正交組，則對于廣義Birkhoff正交矩陣若不可逆，則存在不全為零的使得
。因為空間是嚴格凸的，所以上的Birkhoff正交具有左唯一性。又因為之間的Birkhoff正交是對稱的，所以上的Birkhoff正交也是右唯一的。
由賦范向量空間上的Birkhoff正交是左唯一（右唯一）的當且僅當是嚴格凸（光滑）的，可推出空間是光滑的，再根據賦范線性空間上的Birkhoff正交是右可加的當且僅當是光滑的，可知空間上的Birkhoff正交是右可加的。進而由及上Birkhoff正交的齊次性與可加性得這與Birkhoff正交的定義矛盾，所以可逆。
應用
數學
QR分解
分解是一種線性代數運算，它將一個矩陣分解成一個正交矩陣和一個三角形分量。將變量投影中的階矩
陣通過分解方法分解為，式中，是一個階正交矩陣，具有的性質，為階矩陣，為階上三角矩陣。
，另，基于 分解的變量投影函數為
分解產生了一個階正交矩陣，其逆矩陣與轉置矩陣相同。計算機對矩陣求轉置的速度比求逆的速度更快，因此能夠提高運算效率。
奇異值分解
在變量投影算法中，將階矩陣通過奇異值分解方法分解為，式中是階正交矩陣；是階矩陣，為階對角矩陣（是矩陣的秩），對角元素為的奇異值；是階正交矩陣。
。令，基于奇異值分解的變量投 影函數為
奇異值分解產生了一個階正交矩陣，具有的性質，同樣可以加快運算速度，提高運算效率。
電信技術
碼分多址（CDMA）技術由于強大處理增益產生的低頻復用因子和穩健特性在無線個人通信中有較大作用。但由于擴頻序列非理想相關特性所產生的多徑干擾和多址干擾可能會降低碼分多址通信系統的性能，為了提高系統的性能，要設計具有良好相關特性的擴頻序列。
基于正交矩陣的一類非周期組間互補序列集的構造法，所構造的非周期組間互補序列集的零相關區長度可靈活設定，通過減小零相關區長度，可增加組間互補序列集的組數，用于同步或非同步碼分多址系統支持更多的小區。
信息科技
LCD是目前發展成熟的顯示器，常見產品有TN-LCD，STN-LCD和TFT-LCD等，其中STN-LCD因其低成本被廣泛使用。在驅動大尺寸屏時，由于STN-LCD屏的響應速度較慢，面臨著功耗增加、對比度差、串擾等問題。對STN-LCD的驅動方式進行改進是解決問題的主要途徑。
基于正交矩陣算法，在分析驅動電路原理的基礎上設計了一種8行尋址（MLA-8）LCD驅動電路，使用Verilog語言實現了電路中的數字運算控制模塊。基于Maxchip 18 V CMOS 工藝實現了流片。該電路在滿足設計要求的條件下，相比傳統的IAPT驅動方式，降低了的功耗。
測繪學
在攝影測量學中，當一個立體像對完成相對定向之后，相應光線在各自的核面內成對相交，構成了一個與實地相似的幾何模型。為了確定模型在地面坐標系中的方位和比例尺，就要進行絕對定向。絕對定向通常采用的方法是對空間相似變換公式進行線性化，通過一定數量的控制點，利用最小二乘的方法進行迭代求解。由于是迭代求解，算法較繁瑣且計算量比較大，特別是在對多模型或區域網進行求解時更為麻煩。
在研究正交矩陣反問題及其最佳逼近的基礎上，提出一種基于正交矩陣反問題進行絕對定向的快速直接算法，經實驗計算，與慣用的迭代解法相比，正交矩陣反問題進行絕對定向的快速直接解法具有求解精度高，計算時間短的特點，在實際中具有更好的應用價值。
參考資料 >