設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階方陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得：AB=BA=E。則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。
注：E為單位矩陣。
定義
一個(gè)n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得并稱B是A的一個(gè)逆矩陣。不可逆的矩陣稱為奇異矩陣。A的逆矩陣記作A。
定理
（1）逆矩陣的唯一性。
若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，并記作A的逆矩陣為A。
（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是。
對n階方陣A,若,則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。
（3）任何一個(gè)滿秩矩陣都能通過有限次初等行變換化為單位矩陣。
推論滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。
驗(yàn)證兩個(gè)矩陣互為逆矩陣
按照矩陣的乘法滿足：故A，B互為逆矩陣。
逆矩陣的唯一性
若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。
證明：
若B,C都是A的逆矩陣，則有
所以，即A的逆矩陣是唯一的。
判定簡單的矩陣不可逆
如假設(shè)有是A的逆矩陣，則有
比較其右下方一項(xiàng)：。
若矩陣A可逆，則
若A可逆，即有，使得，故
計(jì)算
若，則矩陣A可逆，且
其中，A為矩陣A的伴隨矩陣。
性質(zhì)
1、可逆矩陣一定是方陣。
2、（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。
3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作。
4、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且(轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）
5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即，則，則。
6、兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。
7、矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。
(1)A與B的地位是平等的，故A、B兩矩陣互為逆矩陣，也稱A是B的逆矩陣；
(2)單位矩陣E是可逆的，即?，單位矩陣的逆矩陣是它本身。
(3)零矩陣是不可逆的，即取不到B，使。
(4)如果A可逆，那么A的逆矩陣是唯一的。
事實(shí)上，設(shè)B、C都是A的逆矩陣，則有。
A的逆矩陣記為?，即若，則?。
可逆矩陣還具有以下性質(zhì)：
(1)若A可逆,則A亦可逆,且。
(2)若A可逆,則A亦可逆,且。
(3)若A、B為同階方陣且均可逆，則AB亦可逆,且。
證明
1、逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設(shè)B與C都為A的逆矩陣，則有
2、假設(shè)B和C均是A的逆矩陣，，因此某矩陣的任意兩個(gè)逆矩陣相等。
3、由逆矩陣的唯一性，A的逆矩陣可寫作（A）和A，因此相等。
4、矩陣A可逆，有。由可逆矩陣的定義可知，A可逆，其逆矩陣為（A）。而（A）也是A的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此。
5、1）在兩端同時(shí)左乘A（BA=O同理可證），得，故）由（同理可證），，等式兩邊同左乘A，因A可逆。得，即。
可逆的等價(jià)條件
2、A行等價(jià)與單位矩陣I
3、A可寫成若干個(gè)初等矩陣之積。
4、是（當(dāng)時(shí)，A稱為奇異矩陣），利用這個(gè)方法，來判定一個(gè)矩陣是否可逆更加方便。
證明
必要性：當(dāng)矩陣A可逆，則有。（其中I是單位矩陣）
兩邊取行列式，
由行列式的性質(zhì)：
則，（若等于0則上式等于0）
當(dāng)，等式同除以，變成比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣
求法
求逆矩陣的初等變換法
將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個(gè)nX2n的矩陣對B施行初等行變換，即對A與I進(jìn)行完全相同的若干初等行變換，目標(biāo)是把A化為單位矩陣。當(dāng)A化為單位矩陣I的同時(shí)，B的右一半矩陣同時(shí)化為了A。
如求的逆矩陣A。
故A可逆并且，由右一半可得逆矩陣
初等變換法計(jì)算原理
若n階方陣A可逆，即A行等價(jià)I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得
在此式子兩端同時(shí)右乘A得：
比較兩式可知：對A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時(shí)，這些初等行變換也將單位矩陣化為A。
如果矩陣A和B互逆，則。由條件以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件以及定理“兩個(gè)矩陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個(gè)矩陣的行列式都不為0。也就是說，這兩個(gè)矩陣的秩等于它們的級數(shù)（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且）。換句話說，這兩個(gè)矩陣可以只經(jīng)由初等行變換，或者只經(jīng)由初等列變換，變?yōu)?a href="/hebeideji/1752845219371155552.html">單位矩陣。
伴隨矩陣法
如果矩陣可逆，則
注意：中元素的排列特點(diǎn)是的第k列元素是的第k行元素的代數(shù)余子式。要求得即為求解的余因子矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。的伴隨矩陣為，其中稱為aij的代數(shù)余子式。
參考資料 >