階躍函數(shù)是從一個極值躍變成為另一個穩(wěn)定值的瞬時躍變函數(shù)。階躍就是指電平的瞬時變化，有些階躍函數(shù)是瞬時升高的，有些是瞬時降低的。階躍函數(shù)是非連續(xù)函數(shù)。在脈沖開關(guān)電路中，階躍函數(shù)是非常重要的函數(shù)。
階躍函數(shù)相當于電源瞬間接通網(wǎng)絡(luò)，因此階躍函數(shù)也稱為開關(guān)函數(shù)。階躍函數(shù)可以用來起始任意函數(shù)，延遲函數(shù)，或者用來表示復(fù)雜的信號等。
最基本的階躍函數(shù)是單位階躍函數(shù)。將單位階躍函數(shù)乘以任意常數(shù)K，則可以得到階躍值為K個單位的階躍函數(shù)。利用單位階躍函數(shù)和延時單位階躍函數(shù)可以方便地表示許多函數(shù)。用階躍函數(shù)可以表示階躍電壓，也可以表示階躍電流。利用階躍函數(shù)可以把一個矩形脈沖分解成兩個值相等、符號不同的階躍電壓。
如果電路的初始狀態(tài)為零，輸人為單位階躍函數(shù)，則相應(yīng)的響應(yīng)就稱為單位階躍響應(yīng)。
定義
普通函數(shù)
在數(shù)學(xué)中，如果實數(shù)域上的某個函數(shù)可以用半開區(qū)間上的指示函數(shù)的有限次線性組合來表示，那么這個函數(shù)就是階躍函數(shù)。階躍函數(shù)是有限段分段常數(shù)函數(shù)的組合。
階躍函數(shù)是奇異函數(shù)，時，函數(shù)值為0；時，函數(shù)值為1/2,；時，函數(shù)值為1
。
廣義函數(shù)
按廣義函數(shù)理論，單位階躍函數(shù)ε(t)的定義為：
即階躍函數(shù)ε(t)作用與檢驗函數(shù)φ(t)的效果是賦予它一個數(shù)值，該值等于φ(t)在(0,∞)區(qū)間的定積分
。
應(yīng)用
信號處理
通過階躍信號來表示復(fù)雜的信號，可以簡化對復(fù)雜信號的一些特性的研究。階躍信號及其延時階躍信號的線性組合來表示或逼近，再利用系統(tǒng)的迭加原理，可以通過簡單的信號如單位階躍信號的頻譜，以及頻域特性來討論比較復(fù)雜信號的頻譜。從而減少計算復(fù)雜信號頻譜的難度。
積分變換
在作積分變換時，對于分段定義的原函數(shù)和像函數(shù)必須分段處理，常常很麻煩而且容易出錯。利用階躍函數(shù)可將分段定義的函數(shù)表示成統(tǒng)一的形式，將函數(shù)切割或?qū)⒎侄味x的函數(shù)統(tǒng)一地表示成定義在整個數(shù)軸上的函數(shù)，常使變換簡捷容易，簡化運算，減少錯誤。
性質(zhì)
（1）可以方便地表示某些信號；
（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間；
（3）階躍函數(shù)的拉氏變換為：。
單位沖激關(guān)系
單位沖激函數(shù)等于單位階躍函數(shù)對時間變量的導(dǎo)數(shù)：
反之，單位階躍函數(shù)等于單位沖激函數(shù)的積分：
響應(yīng)的關(guān)系
階躍響應(yīng)g(t)定義為：系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。即激勵所發(fā)出的信號為階躍函數(shù)，產(chǎn)生了零狀態(tài)響應(yīng)（電路的儲能元器件（電容、電感類元件）無初始儲能，僅由外部激勵作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。）
研究
自然生態(tài)
利用階躍函數(shù)提出數(shù)學(xué)模型解決自然生態(tài)問題。例如《基于階躍函數(shù)的紅樹林凋落物變化模型研究》：由于凋落物隨時間變化而存在峰值,利用階躍函數(shù),解決了分段模型一直無法解決的兩個問題:一是變點的數(shù)學(xué)確定方法,另一個是變點的連續(xù)性問題。建立了基于符號函數(shù)的階躍函數(shù)模型,并以此為基礎(chǔ),提出了具有峰值的凋落物耦合模型。
高精度逼近
改進了階躍函數(shù)及其反函數(shù)的近似逼近函數(shù)——磨光函數(shù)和過濾函數(shù)，以提高ICM(Independent Continuous and 映射,即獨立、連續(xù)及映射)方法求解結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的效率。
工程領(lǐng)域
如通過延遲階躍函數(shù)求解重復(fù)性項目控制路線的方法研究、橋梁氣動導(dǎo)納識別的階躍函數(shù)擬合法、用多項式和階躍函數(shù)構(gòu)造網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子及其電路實現(xiàn)等等都有不同程度上的發(fā)現(xiàn)。
參考資料 >