布朗運動（Brownian Motion/wiener process）是指懸浮在液體或氣體中的微粒所做的永不停息的無規則運動。1827年，英國植物學家羅伯特·布朗（Robert Brown）通過顯微鏡觀察浸入水中的植物的花粉時，發現花粉微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動的強度與溫度、微粒濃度有關，溫度越高，微粒布朗運動越劇烈。可以通過利用光學顯微鏡和圖像采集裝置觀測聚苯乙烯小球或進行密立根油滴實驗來觀測布朗運動。
布朗運動具有軌道性質、高斯性、鞅性質、馬爾可夫性等性質，也存在多種變化形式，如等價變化、布朗橋、反布朗運動和幾何布朗運動等，對布朗運動的研究影響著各個科學領域，如物理、化學、電子工程、金融、數學等。
布朗運動現已應用至光學中的分子散射和激光理論，電學中的噪音計算、金融學中的股票價格推算、財務發生額規律推算及測溫等領域。
定義
布朗運動是指懸浮在液體中的微粒永不停息地做無規則運動的現象，布朗運動的強度與溫度、微粒濃度有關，溫度越高，微粒布朗運動越劇烈。可以通過利用光學顯微鏡和圖像采集裝置觀測PS塑料小球或進行密立根油滴實驗來觀測布朗運動。
原理
產生原因
布朗運動產生的原因有兩方面：一是溶膠粒子的熱運動，二是分散劑分子對膠粒的不均勻的撞擊。
愛因斯坦理論
1905年愛因斯坦（Albert Einstein）用概率的概念和分子運動論的觀點，創立了布朗運動理論，得出愛因斯坦-布朗運動平均位移公式：
=
式中，為在時間t內粒子沿x軸方向的平均位移；r為粒子半徑；η為介質黏度；NA為阿莫迪歐·阿伏伽德羅常數。
愛因斯坦認為粒子位置在一維空間（x）中的時間增量作為具有某種概率密度函數（）的隨機變量。假設粒子數量守恒，在泰勒級數中擴展了時間密度t+，得：
其中第一項積分等于1，第二項和奇特偶數項應為空間對稱消失，得以下關系：
則質量擴散系數D
則布朗粒子在t處點x處的密度ρ滿足擴散方程：
假設 N個粒子在初始時間t=0時從原點開始，擴散方程具有以下解：
阿爾伯特·愛因斯坦理論的第二部分將擴散常數與物理上可測量的量聯系起來，物質通過布朗運動從高濃度區向低濃度區運動，稱為擴散，這種現象可以通過費克擴散第一定律來表示，愛因斯坦推導了粒子在t時間內的平均位移與擴散系數D之間的關系式，即=。代入費克擴散第一定律方程式得：
D=
Smoluchowski模型
斯莫盧霍夫斯基（Smoluchowski）與阿爾伯特·愛因斯坦幾乎在同時期推導出概率分布ρ（x，t）， 布朗粒子在時間t中沿x的位移。 得到了相同的均方位移，當他將其與質量m的粒子聯系起來時，該粒子以斯托克斯定律支配的摩擦力的結果的速度運動，他發現：
其中μ是粘度系數，a是顆粒半徑。
1906年，斯莫盧霍夫斯基發表了一個一維模型來描述經歷布朗運動的粒子。該模型假設與M?m發生碰撞，其中M是測試粒子的質量 ，m是單個粒子之一的質量組成 流體。 假設粒子碰撞被限制在一個維度上，并且測試粒子從左側被擊中的可能性與右邊相同。 還假設每次碰撞總是賦予相同大小的ΔV。 如果N R是來自右側的碰撞次數，N L是來自左側的碰撞次數，則在N次碰撞之后 ， 粒子的速度將改變ΔV（2 N R ?N）。 然后，多重性由下式簡單地給出：
可能狀態的總數由 2N 給出。 因此， 粒子被正確的NR次擊中的概率為：
斯莫盧霍夫斯基的一維模型只能定性地描述布朗運動。 對于在流體中經歷布朗運動的真實粒子，許多假設并不適用。
研究歷史
1827年，英國植物學家羅伯特·布朗（Robert Brown）在探討花粉在植物受精卵過程中的功能時發現，水中的花粉及其他懸浮的微小顆粒不停地作不規則的曲線運動。之后他又在其他植物中也觀察到了這一現象。
1828年，布朗在《植物花粉的顯微觀察》一書中記述了他的發現，并提出了布朗運動的概念，為分子的存在提供了強有力的佐證。
1905年，阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）對布朗運動做了定量研究，指出布朗動動是由于微粒分子之間的碰撞引起的分子相對兩面的壓力差所致。
1908年，保羅·朗之萬（Paul Langevin）寫出描述單個布朗粒子運動的方程，其中包含有隨機力項，是一個隨機微分方程。從郎之萬方程出發對粒子運動軌跡的平均得到的結果，同樣與愛因斯坦的結果吻合。隨后歐爾斯坦（Ornstein），烏侖貝克（Uhlenbeck）和王明貞等人總結發展了布朗運動理論，所撰寫的論文成為布朗運動理論經典文獻。
1908年，讓·佩蘭（Jean Baptiste Perrrin）開始研究通過實驗的方法證實布朗運動理論，他認為液體中的懸浮微粒可以看成是進行熱運動的巨大分子，因此遵循分子運動的規律，他的實驗分為兩種。一種是實驗測定溶液中懸浮粒子濃度隨高度的分布規律，從中可以測定阿伏伽德羅常數。另一種實驗是直接用顯微鏡觀察測量粒子的布朗運動，得到其位移數據，然后進行統計平均，與理論對照求得NA。各種實驗方法和實驗條件下測量得到的NA 都與現代公認的數值6.022×1023 十分接近。
1912年，諾伯特·維納（Wiener）在他的博士論文中給出了布朗運動的數學模型，即維納過程
數學模型
1912年維納在他的博士論文中才給出了布朗運動的數學模型。設W（t）表示布朗運動某質點（即花粉）在[0,t]時間段產生的位移。由于質點的運動受周圍介質場的作用（即受液體分子的“碰撞”，每秒達102次）。每次“碰撞”質點都會產生微小的位移。[0,t]時間段內質點的位移W（t）是經過“無數次”微小位移的總和。由中心極限定理知，W（t）服從正態分布。不僅如此，由于質點的運動，在不重疊的時間段內，碰撞的次數，位移的大小和移動的方向可以認為是相互獨立的，且質點在某時間段內的位移的大小和移動的統計規律（即分布）與起始時刻無關，只與時段長度有關，綜上所述，若隨機過程W=｛W(t)，tT?[0，+）｝滿足以下條件：
（1）W(0)=0；
（2）是平穩獨立增量過程；
（3）對0≤s 則稱W是參數為2的維納過程。 布朗運動是一種最重要最基本的隨機過程，是一個具有連續狀態空間和連續時間參數的隨機過程，它是隨機過程的基石，是現代概率論的重要組成部分，用于描述布朗運動隨機過程的定義是維納給出的，維納過程是布朗運動的數學模型。維納過程定義隨機過程{X（t），t≥0}如果滿足： （1）{X（t),t≥0}具有平穩獨立增量； （2）對每個t>0，X（t）服從正態分布N（0，σ2t）； （3）X（t）關于t是連續函數，則稱{X（t),t≥0}為布朗運動，也稱為維納過程。常記為{B（t），t≥0}或{W（t），t≥0}。 注：如果σ=1，稱為標準布朗運動。如果σ≠1，通過{，t≥0}轉化成標準布朗運動。 布朗運動可以看做對稱隨機移動的極限情況，因此，它的軌道是連續的，然而，由于布朗運動的不規則性，布朗運動的軌道是很不光滑的。事實上，其軌道幾乎處處不可導。 布朗運動的高斯性質，是指所有有限維分布都是多元正態分布的隨機過程。布朗運動是均值函數為0、協方差函數為min（t，s）的高斯過程。布朗運動是均值函數為0，協方差函數為min（t，s）的高斯過程。 （1）分散在介質中的粒子各自獨立地作不規則運動，并不斷地改變方向。 （2）液體介質的粘度、粒子半徑和溫度等對布朗運動都有影響。粒子越小，溫度越高振幅就越大，運動就越激烈。在一定溫度時，大小相同的粒子，運動活潑程度是相同的，與物質種類無關。 （3）液態介質分子的熱運動永不停息。 設{B（t）；t≥0}是標準布朗運動，則下列隨機過程也是標準布朗運動： （1）{X（t），t≥0}，其中X（t）=cB（t/c2），c>0； （2）{Y（t），t≥0}，其中Y（t）=B（t+h）-B(h)，h>0； （3）{Z（t)，t≥0}，其中Z（t）={tB（1/t），t>0}或者{0，t＜0} 設{B（t)，t≥0}是布朗運動，令B（t）=B(t)-tB(1)，0≤t≤1 則稱隨機過程{B（t），0≤t≤1}為布朗橋（Brownbridge） 如果隨機過程{X（t），t≥0}滿足X（t）=|B（t）|，就稱之為反射布朗運動（在t軸反射出來）它的均值和方差函數分別為： m（t)=E[x（t)]=xdx=σ，t≥0 Var[X（t）]=E[X2（t）]-{E[x（t)]}2=σ2t-σ2=（1-）σ2t 由X（t）=eB（t），t≥0，定義的過程{X（t）,t≥0}稱為幾何布朗運動，由于布朗運動的矩母函數為E[exB（t)]=etx2/2，所以幾何布朗運動的均值函數與方差函數分別：: E[x(t)]=E[eB(t)]=e1/2 Var[X(t)]=E[X2(t)]-{E[X(t)]}2=E[e2B(t)]-e=e2t-e 分數布朗運動是由安德雷·柯爾莫哥洛夫在其文獻中引入的。其定義為：令0 協方差為E[BtHBsH]=1/2(t2H+s2H-lt-sl2H)，則稱其為分數布朗運動。當H=1/2時，分數布朗運動是標準布朗運動。 1908年，法國物理學家讓·佩蘭通過實驗證實了阿爾伯特·愛因斯坦對布朗運動的解釋。佩蘭的實驗分為兩種，一種是通過測定懸浮粒子濃度隨高度的變化規律，從而測定出阿莫迪歐·阿伏伽德羅常數，另一種是通過直接顯微鏡觀察測量粒子的布朗運動，得到其位移數據，統計分析取平均值，從而計算出阿伏加德羅常數，愛因斯坦和佩蘭的研究成果，物理學家們最終不得不接受原子和分子存在的事實，而此前即便到了20世紀初，這個問題也依然懸而未決。佩蘭在總結他1909年關于這一問題的論文時寫道：“我認為從今以后將很難再用合乎邏輯的論證來反對分子學說的觀點。” 布朗運動在各個科學領域發揮著重要的作用。由布朗運動理論發展而來的幾率平衡方程如福克-馬克斯·普朗克方程，克拉默斯方程在物理、化學等學科起著基石的作用。由保羅·朗之萬方程發展而來的布朗動力學模擬方法， 則是計算物理中的一種有效的計算機模擬方法。在數學領域，布朗運動又叫維納過程，其處處不可導的特性引起了一系列相關的數學研究。在電子工程領域，布朗運動理論可用于描述噪聲。在金融領域，期權定價模型的本質也是布朗運動理論。 布朗運動就是描述隨機現象的基石。美國物理學家施塔赫爾說：“布朗運動的論文也擴大了經典力學概念的應用范圍。” 布朗運動不符合經典的熱力學第二定律，布朗運動實際上反映了經典物理學“宏觀”與“微觀”概念的模糊性，也反映了經典物理學的局限。 光在氣體、液體中傳播遇到塵埃、懸浮粒子等雜質微粒時，部分光線將改變傳播方向，也就是光的散射。如果傳光介質中具有尺度和波長可比擬，或比波長更小的折射率不均勻區域時，就會發生光的散射，即瑞利散射。純凈的氣體和液體由于密度漲落會引起折射率的不均勻，也會引起光的散射。密度漲落產生的散射實際是介質自身分子的熱運動引起的，即分子散射。 布朗運動的朗之萬方程也被應用于研究激光。1908年，保羅·朗之萬在牛頓第二運動定律的方程中引入隨機力作用項，即著名的“朗之萬方程”： 其中Mi 為布朗顆粒質量，ri 為位置矢量。等式左邊第一項是布朗顆粒受到的其它顆粒或外場的作用力之和；第二項把周圍流體分子對布朗顆粒撞擊作用等效表示為一個隨機作用力；第三項是微粒在流體中運動受到的黏滯阻力，其中i 是顆粒 的阻力系數。激光光場的場模和激活原子的電子遵從耦合的朗之萬方程。 電子儀器的靈敏度受噪聲限制，其中的一種是導體中電子的熱運動引起的，這種運動產生的平均電流為零。由于存在漲落，瞬時的電流脈沖導致電阻兩端產生瞬時的電壓擾動，產生熱噪音。熱噪音與溫度有關，根據布朗運動原理及電學中的LR電路方程，最終可以推算熱噪聲引起的均方噪聲電壓。 早在1900年，法國學者LouisBachelier就在他的畢業論文中提出了用數學方法來給風險資產定價的模型，也是他提出了用布朗運動來模擬股價的變化，1965年，在麻省理工學院攻讀博士的PaulSamuelson又重新發現了Bachelier的模型，為了克服布朗運動由于存在負值而股價永遠為正的問題PaulSamuelson提出了用幾何布朗運動來模擬股票價格。 如果用X(t)表示按單利計算在0年投資1塊錢，用t表示收益的對數，在理想的條件下，X(t)可以認為是按趨勢為μ和方差為r2的布朗運動。而μ和r都分別各自表示在給定年度各增長率的對數的平均值和差異。另外，增長率的對數在1年，2年直到n年中各自都是獨立同分布的，共同發布為正態分布。根據數學模型，在第一個n年中的某一時間投資收益將會降低至一個特殊水平的概率。對人壽保險公司發行的保單，承諾其投資收益不會低于某個確切的數字是很重要的。 布朗運動的強度與溫度、微粒濃度有關，溫度越高，微粒布朗運動越劇烈。據此，Chung等人提出一種基于熒光納米顆粒布朗運動的三維微流體溫度測量技術。熒光納米顆粒為經酸酸鹽修飾的PS塑料球形顆粒（外徑0.25μm），均勻懸浮于去離子水中（質量/體積濃度0.02%），納米顆粒布朗運動強度由顆粒的振蕩頻率來衡量，顆粒振蕩運動軌跡由高分辨率熒光顯微鏡實時跟蹤記錄。可實時測量顯示微流體內部三維空間溫度分布，空間分辨率可達1μm。 參考資料 > 布朗運動.術語在線.2023-06-30性質和特點
軌道性質
高斯性
特點
變化形式
等價變化
布朗橋
反布朗運動
幾何布朗運動
分數布朗運動
研究影響
應用領域
在光學中的應用
分子散射
激光理論研究與應用
在電學中的應用
在金融學中應用
推測股票價格
推測財務發生額規律
布朗運動測溫