正交是線性代數(shù)的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內(nèi)積空間中才有意義。若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運(yùn)動的獨(dú)立性，也可以用正交來解釋。
含義
換句話說，兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。
對于一般的希爾伯特空間，也有內(nèi)積的概念，所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。特別的，我們有n維歐氏空間中的正交概念，這是最直接的推廣。
和正交有關(guān)的數(shù)學(xué)概念非常多，比如正交矩陣，正交補(bǔ)空間，施密特正交化法，最小二乘法等等。
另外在此補(bǔ)充正交函數(shù)系的定義：在三角函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間[-π,π]上的積分等于0，則稱這樣的三角函數(shù)組成的體系叫正交函數(shù)系。
公式
例如：三角函數(shù)系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,}
在區(qū)間[-π,π]上正交，就是指在三角函數(shù)系⑴中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間[-π,π]上的積分等于0，即
各種正交概念
正交子空間
若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則它們正交。類似地，若內(nèi)積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那么這個向量和子空間A正交。若內(nèi)積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。
正交變換
正交變換是保持內(nèi)積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內(nèi)積等于它們在函數(shù)T下的內(nèi)積。這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。
正交圓
在幾何學(xué)中，對兩個相交的圓，如果其中一個交點(diǎn)到兩圓圓心的連線互相垂直，則稱兩圓分別正交，為彼此的正交圓。以任一圓圓心為反演中心，其半徑為反演半徑，另一圓反演變換后的圖像不變。
歐幾里得空間
在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交當(dāng)且僅當(dāng)他們的點(diǎn)積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎(chǔ)上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。
函數(shù)集
對于兩個函數(shù)f和g，可以定義如下的內(nèi)積：
這里引進(jìn)一個非負(fù)的權(quán)函數(shù)。這個內(nèi)積叫做帶權(quán) 的內(nèi)積。
兩個函數(shù)帶權(quán)正交，是指它們帶權(quán)的內(nèi)積為零。
由此可以類似定義帶權(quán){\displaystyle }的模。
一個函數(shù)列如果滿足：
其中
為克羅內(nèi)克函數(shù)，那么{fi}就稱為帶權(quán)的正交函數(shù)族。
進(jìn)一步地，如果{fi}滿足：
就稱{fi}為帶權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。
參見正交多項式。
分子生物學(xué)中的正交概念
在分子生物學(xué)中，正交性指的是互相獨(dú)立的元件之間的相互干擾盡可能少，以便精確調(diào)控細(xì)胞內(nèi)各組分的活性。例如，正交的轉(zhuǎn)錄因子的啟動子不應(yīng)受到對方的表達(dá)影響。通過生物信息學(xué)挖掘設(shè)計出的毒性更小的T7 RNAP變體，以及從頭設(shè)計的核糖體開關(guān)（Toehold開關(guān)）和人工合成的Notch受體，都是正交性在分子生物學(xué)中應(yīng)用的例子。
訊號處理中的正交轉(zhuǎn)換
在訊號處理中，正交轉(zhuǎn)換如離散傅里葉變換、離散余弦變換、Walsh變換、Haar變換等，能夠確保訊號彼此不影響，近似誤差最小化，并且正轉(zhuǎn)換與反轉(zhuǎn)換的架構(gòu)相似，從而完整了解訊號的完整度。
參考資料 >