在線性代數中，相似矩陣是指存在相似關系的矩陣。設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得
P-1AP=B
則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
定義
設都是階矩陣，若存在可逆矩陣，使，則稱B是A的相似矩陣,并稱矩陣與相似，記為。
對進行運算稱為對進行相似變換，稱可逆矩陣為相似變換矩陣。
矩陣性質
對于
設和是任意同階方陣，則有：
（1）反身性：
（2）對稱性：若，則
（3）傳遞性：若，，則
（4）若，則，，。
（5）若，且可逆，則也可逆，且。
（6）若，則與兩者的秩相等；兩者的行列式值相等；兩者的跡數相等；兩者擁有同樣的特征值，盡管相應的特征向量一般不同；兩者擁有同樣的特征多項式；兩者擁有同樣的初等因子。
（7）若與對角矩陣相似，則稱為可對角化矩陣，若階方陣有個線性無關的特征向量，則稱為單純矩陣。
（8）相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。
定理
定理1
階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣有個線性無關的特征向量。
注：定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法。
若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實現：
（1）求出全部的特征值；
（2）對每一個特征值，設其重數為,則對應齊次方程組的基礎解系由個向量構成，即為對應的線性無關的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個線性無關的特征向量。
推論1
若階矩陣有個相異的特征值，則與對角矩陣相似。
對于階方陣，若存在可逆矩陣，使其為對角陣，則稱方陣可對角化。
定理2
階矩陣可對角化的充要條件是對應于的每個特征值的線性無關的特征向量的個數恰好等于該特征值的重數，即設是矩陣的重特征值。
定理3
對任意一個階矩陣，都存在n階可逆矩陣T使得即任一階矩陣都與階約當矩陣相似。
判斷方法
判斷兩個矩陣是否相似的輔助方法：
（1）判斷特征值是否相等；
（2）判斷行列式是否相等；
（3）判斷跡是否相等；
（4）判斷秩是否相等。以上條件可以作為判斷矩陣是否相似的必要條件，而非充分條件。
（兩個矩陣若相似于同一對角矩陣，這兩個矩陣相似。）
應用
（1）利用矩陣對角化計算矩陣多項式；
（3）利用矩陣對角化求解線性方程組。
參考資料 >