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調(diào)和分析起源于Euler,Fourier等著名科學(xué)家的研究，主要涉及映射插值方法、極大函數(shù)方法、球調(diào)和函數(shù)理論、位勢理論、奇異積分以及一般可微函數(shù)空間等。經(jīng)過近200年的發(fā)展，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中的核心學(xué)科之一，在偏微分方程、代數(shù)數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用。
含義
調(diào)和分析是研究作為基本波形的疊加的函數(shù)或者信號的表示的數(shù)學(xué)分支。它研究并推廣傅立葉級數(shù)和傅立葉變換的概念。基本波形稱為調(diào)和函數(shù)，調(diào)和分析因此得名。在過去兩個世紀(jì)中，它成了一個廣泛的主題，內(nèi)容包括從信號處理、量子力學(xué)到神經(jīng)科學(xué)這樣的寬廣領(lǐng)域。
定義于Rn上的經(jīng)典傅里葉變換仍然是一個處于研究狀態(tài)的領(lǐng)域，特別是在關(guān)于更一般的對象（例如緩增廣義函數(shù)）的傅立葉變換的方向。例如，若我們加上在一個分布f的要求，我們可以試圖用f的傅立葉變換來表達(dá)這些要求。Paley-Wiener定理是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接蘊(yùn)涵如果f是非0分布，有緊支撐 (這包含緊支撐函數(shù))，則其傅立葉變換從不擁有緊支撐。這是在調(diào)和分析下的不確定性原理的一個非常初等的形式。參看經(jīng)典調(diào)和分析。
傅立葉級數(shù)可以在希爾伯特空間的意義下方便的研究，該空間提供了調(diào)和分析和泛函分析的一個聯(lián)系。
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