奇異積分，又稱考爾德倫-贊格蒙奇異積分算子，一種特殊的積分變換，他們就最基本與最典型的情形，證明了奇異積分算子的Lp可積性。奇異積分算子理論和這一整套的實變函數論方法，不僅在近代調和分析和偏微分方程的理論中，而且在多元復變函數論、概率論和位勢理論中，起著重要的作用。又稱考爾德倫-贊格蒙奇異積分算子，一種特殊的積分變換，是一維戴維·希爾伯特變換到高維歐氏空間的推廣，由A.-P.考爾德倫和A.贊格蒙于1952年引入。Rj?稱為?的第j個里斯變換(j=1,2,…,n)。
正文
他們就最基本與最典型的情形，證明了奇異積分算子的L可積性。這是奇異積分理論的奠基性工作。以后經E.M.施坦、G.韋斯和C.費弗曼等人，把奇異積分同哈代-李特爾伍德極大函數、面積積分、多元調和函數邊界性質、李特爾伍德-佩利理論聯系起來，組成了近代調和分析的主要工具。同時由J.J.科恩、L.尼倫伯格和L.赫爾曼德爾等人在奇異積分理論和方法的基礎上，發展出偽微分算子、傅里葉積分算子等理論，形成偏微分方程近代理論的一個重要方面。
特例 考慮n維歐氏空間上的泊松方程，試用牛頓位勢
(1)
式中
一般說來，積分(1)是發散的。因為它的核
按絕對值的大小來說，在原點x=0附近是不可積的，也即按勒貝格積分的意義說，積分(1)一般不存在。但由于Ωj在R的單位球面S上的平均值等于
對“好的”函數來說，只要把積分(2)理解為
(2)
就可以證明這極限是存在的，并且可進一步證明，如果，那么積分(1)所定義的也屬于L。按正常意義是發散的積分(1)，用(2)來定義，就可能是收斂的。因此人們稱 (1)右方的積分為奇異積分或奇異積分算子。
推廣到一般情形一般的考爾德倫－贊格蒙奇異積分算子是如下定義的一種積分變換：
(3)
式中Ω(y) 是零次齊次函數，即對任意的，滿足,并且在的單位球面S上的平均值等于0,即
同時還具有一定的光滑性。(1) 中的積分是奇異積分算子的一個特例。考爾德倫和贊格蒙于1952年的奠基性工作主要就是證明了：如果，則由(3)所定義的，并且
式中C與?無關。
從傅里葉變換的觀點來看，如果，則T?和?的傅里葉變換可以用等式
聯系起來，其中m(x)是R上的一個零次齊次函數，更準確些,m(x)和(3)中的Ω(x)有下面的關系：
(4)
式中
表示x與y的內積。
里斯變換分別取
式中C是一個只依賴于n的常數，這樣的Ωj滿足上面關于Ω所要求的一切條件，這時相應的n個奇異積分算子為
稱為?的第j個里斯變換()。因此，在n維空間R中，?共有n個里斯變換。從傅里葉變換的觀點看來，只要計算出(4)中的
就可以把里斯變換寫成
(5)
時,
這時里斯變換就是戴維·希爾伯特變換可見里斯變換是戴維·希爾伯特變換到高維空間的直接推廣，而一般的考爾德倫－贊格蒙奇異積分算子正是希爾伯特變換到高維空間的更一般的推廣。
同偏微分方程的聯系奇異積分算子理論在偏微分方程的許多問題中起著重要的作用。為了說明這點，考慮一個純粹的m階的偏微分算子
(6)
注意對拉普拉斯算子，不難看出有
結合偏微商和傅里葉變換的關系以及等式(5),就知道里斯變換實際上就是
這樣(6)中的L就可以寫成
。
這式子表明,L可以分解為算子T與
的乘積：
，式中T實際上是一個變系數的奇異積分算子，具有下面的形式
式中對ω來說，類似于(3)中的Ω，即對每個x有
而C(x)是一個無限次可微的函數。換句話說，假如不看因子
，偏微分算子僅僅是一種特殊類型的奇異積分算子。
考爾德倫-贊格蒙分解奇異積分算子(2)的有界性的證明，用的是馬欽凱維奇算子內插定理（見算子內插）。T的(2,2)型是容易從普朗歇爾等式得到的。困難在于證明T是弱(1,1)型的。為證T的弱(1,1)型，1952年考爾德倫和贊格蒙在他們的奠基性論文中，把函數分解為)兩部分，其中g有較好的性質，例如，故稱g為“好的”部分，而b)是“壞的”部分，但具有某些特殊性質，如在某些方塊上的積分為0。這就是通常所說的考爾德倫-贊格蒙分解。在此基礎上，以后發展出一整套的實變函數論方法。
參考書目
A.P.Calderón and A.Zygmund, On the Existenceof Certain Singular Integrals,Acta MatheMatica,Vol. 88, pp85～139, 1952.
e.m.Stein,Singular Integrals and Different-iability Properties of Functions,Princeton Univ.Press,Princeton,1970.
E.M.Stein and G. Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
參考資料 >