基本不等式（英文：arithmetic mean-geometric mean 不等式）也稱平均值不等式、算術(shù)平均-幾何平均不等式、AM-GM不等式、AG不等式等，是指在非負(fù)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若干數(shù)的幾何平均數(shù)不超過(guò)它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這些數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立。數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表示為：設(shè)為個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算數(shù)平均值記為，幾何平均值記為，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。有時(shí)也指均值不等式鏈（英文：平均數(shù) Inequality Chain）：
。
基本不等式的二維形式最早由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（英文：Euclid）所證明。1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（法語(yǔ)：Augustin-Louis Cauchy）使用一種反向歸納法證明了一般形式的基本不等式。此后，對(duì)基本不等式的不同證法一直是人們研究的熱點(diǎn)，至今已有上百種不同的證明方法。
基本不等式有加權(quán)形式、積分形式、矩陣形式等眾多形式。一般形式的基本不等式也可以推廣成均值不等式鏈（英文：平均數(shù) 不等式 Chain）、雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）、雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）、謝爾賓斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）等。
基本不等式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，可以利用它來(lái)證明不等式、解幾何問(wèn)題、求極值、比較大小等，它本身也是對(duì)數(shù)函數(shù)凹性的體現(xiàn)。基本不等式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可用來(lái)計(jì)算收益率和比較不同計(jì)算方法得到的年收益率等，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中可以對(duì)圖形的數(shù)字化數(shù)據(jù)進(jìn)行細(xì)化和轉(zhuǎn)換等處理。
定義
設(shè)為個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算數(shù)平均值記為，幾何平均值記為，則算數(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
示例：，則，，顯然。
歷史
早在公元前500年，古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（英語(yǔ)：Pythagoras）中就有正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念，他們對(duì)其進(jìn)行了研究并提出了一種計(jì)算方法。二維形式的基本不等式是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（英文：Euclid）證明的。古希臘亞歷山大學(xué)派的數(shù)學(xué)家帕普斯（英文：Pappus）在《數(shù)學(xué)匯編》（英文：Synagoge）中將兩種平均值放入同一個(gè)圓中，直觀地展示了它們的大小關(guān)系。1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（法語(yǔ)：Augustin-Louis Cauchy）在他的書(shū)《皇家理工學(xué)院的分析課程，第一部分，代數(shù)分析》（法語(yǔ)：Cours d'analyse de l'école Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique）中使用反向歸納法給出了一般形式的基本不等式的證明。此后，對(duì)基本不等式的不同證法一直是人們研究的熱點(diǎn)，至今已有上百種不同的證明方法。
證明
數(shù)學(xué)歸納法
方法1
（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。
（2）假設(shè)對(duì)時(shí)命題成立，即對(duì)于，有，那么，當(dāng)時(shí)，
由于
關(guān)于是對(duì)稱的，任意對(duì)調(diào)與，即將寫成，寫成，和的值不改變，因此不妨設(shè)，，顯然，以及
即，對(duì)個(gè)正數(shù)，由歸納假設(shè)，得
而，
于是，兩邊乘以得
從而，有。
直接驗(yàn)證可知，當(dāng)且僅當(dāng)所有的相等時(shí)等號(hào)成立，故命題成立。
方法2
（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。
（2）假設(shè)對(duì)時(shí)命題成立，即對(duì)于，有，那么，當(dāng)時(shí)，
于是。
由上得知，當(dāng)且僅當(dāng)所有的相等時(shí)等號(hào)成立，故命題成立。
方法3
（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。
（2）假設(shè)對(duì)時(shí)命題成立，即對(duì)于，有，那么，當(dāng)時(shí)，
所以，故得。
從而命題成立。
方法4
這個(gè)方法是斯里蘭卡數(shù)學(xué)家迪亞南達(dá)（錫蘭語(yǔ)：Punchihewa Harischandra Diananda）于1960年提出的證明方法。
先介紹楊氏不等式。
楊氏不等式（英文：Young‘s Inequality）：若，且時(shí)則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
下面依然使用數(shù)學(xué)歸納法：
（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。
（2）假設(shè)對(duì)時(shí)命題成立，即對(duì)于，有，那么，當(dāng)時(shí)，由楊氏不等式
記
，即。
則成立。
方法5
這個(gè)方法也叫反向歸納法，是法國(guó)數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（法語(yǔ)：Augustin-Louis Cauchy）于1821年提出的證明方法。
第一步，從時(shí)成立容易推出時(shí)該式也成立：
由此推出時(shí)成立。
第二步，設(shè)，則必存在，使得。
即，從而。
方法6
這個(gè)方法是蘇格蘭數(shù)學(xué)家喬治·克里斯托（英文：George Chrystal）在其著作《代數(shù)論》（英文：Algebra）給出的證明方法。
先介紹二項(xiàng)式定理。
二項(xiàng)式定理（英文：二項(xiàng)式 theorem）：對(duì)任意正整數(shù)，有如下公式成立：
。
（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。
（2）假設(shè)對(duì)時(shí)命題成立，即對(duì)于，有，那么，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)是中最大的，由于，
設(shè)，則，并且有。由二項(xiàng)式定理，則有
。
從而時(shí)也成立。不等式得證。
構(gòu)造數(shù)列法
令，如果能證明關(guān)于是單調(diào)增加的，即
，那么由，得到，則不等式成立。
現(xiàn)在證明的單調(diào)性。
設(shè)，從而有
這表明。另外，由于，則對(duì)任意，得。從而不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)所有的相等時(shí)等號(hào)成立。
多項(xiàng)式展開(kāi)法
設(shè)，由多項(xiàng)式展開(kāi)式，
因?yàn)?/p>
所以，，于是，
兩邊開(kāi)次方，得到，因?yàn)椋?/p>
。
拉格朗日乘數(shù)法
求在條件下的最大值，作輔助函數(shù)
對(duì)對(duì)偏導(dǎo)數(shù)，得出。對(duì)求和，得到
，即。從而。于是在點(diǎn)取得最大值
，即。從而，得證。
利用排序不等式
先介紹排序不等式。
排序不等式（英文：Rearrangement Inequality）：設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)組和滿足
，則
其中是的一個(gè)排列，并且等號(hào)同時(shí)成立的充分必要條件是或成立。
令，由排序不等式，得
所以。
利用琴生不等式
先介紹琴生不等式。
琴生不等式（英文：Jensen’s Inequality）：設(shè)是上的凸函數(shù)，，則。
取，令，則，由琴生不等式，有
，取即有。
其他形式
加權(quán)形式
對(duì)于，是一組非負(fù)實(shí)數(shù)，有如下的基本不等式的加權(quán)形式：
。
特別地，有，式中。
積分形式
也稱極限形式。設(shè)函數(shù)及，在上有定義，且下面所出現(xiàn)的積分有意義。記
，，。以上分別被稱為的加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)次冪算數(shù)平均和加權(quán)幾何平均。其中稱為權(quán)函數(shù)。則有如下的大小關(guān)系：
，即。（，包括的情況）
特別地，對(duì)任意在區(qū)間上可積的正值函數(shù)，都有成立。
矩陣形式
對(duì)于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣，若，，則滿足
。
對(duì)于都是正定矩陣的情況，若記為矩陣的酉不變范數(shù)，則成立。
幾何含義
記長(zhǎng)方形的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為，則它的周長(zhǎng)為，面積為。與該長(zhǎng)方形面積相同的正方形的邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為。根據(jù)二維形式的基本不等式有，即長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大于正方形的周長(zhǎng)。從而有結(jié)論：在所有面積相同的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小。
一般形式的基本不等式則指出，在所有體積相同的維幾何體中，正維立方體的邊長(zhǎng)和最小。
推廣
均值不等式鏈
對(duì)于正實(shí)數(shù)，有如下的不等式鏈成立：
以上四式寫成符號(hào)分別為：HM，GM，AM和QM，即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為“調(diào)幾算方”。該不等式鏈被稱為均值不等式鏈（英文：Mean Inequality Chain）。
雷多不等式
雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）:設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
波波維奇不等式
波波維奇不等式（英文：Popovic’s Inequality）:設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
雅各布斯塔不等式
雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）:設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
卡森不等式
卡森不等式（英文：Carlson’s Inequality）:
（1）設(shè)，令，則
。
（2）設(shè)正實(shí)數(shù)中每次取個(gè)數(shù)的算數(shù)平均和幾何平均分別定義為
，則。
冪平均不等式
（1）
（2）
（3）記，則
且。
謝爾賓斯基不等式
謝爾賓斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）：，僅當(dāng)所有相等時(shí)等號(hào)成立。
應(yīng)用
初等數(shù)學(xué)
證明一般不等式
例：設(shè)，證明。
證明：由基本不等式，得。、
又，所以有。
證明條件不等式
例：假設(shè)正數(shù)滿足，證明。
證明：由假設(shè)得，再由基本不等式得
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。于是
由此，得。所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。
解幾何問(wèn)題
例：的三邊長(zhǎng)滿足，求證
證明：因?yàn)?/p>
所以，欲證的不等式等價(jià)于
構(gòu)造函數(shù)，一方面
所以
另一方面，因?yàn)槭侨切稳呴L(zhǎng)，所以，且均為正數(shù)，利用基本不等式，有
所以
從而，欲證不等式成立。
求極值
例：若是正數(shù)，則的最小值是
證明：
由得，，
以上三式相加得
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。
比較大小
例：已知，比較的大小。
解：當(dāng)時(shí)，，同理，故。
當(dāng)時(shí)，。
當(dāng)時(shí)，。又，而
所以。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
基本不等式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可用來(lái)計(jì)算收益率和比較不同計(jì)算方法得到的年收益率等。基本不等式也可以轉(zhuǎn)換不同的形式以達(dá)到期望的效果。比如可以使用基本不等式計(jì)算金融回報(bào)，討論收益的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和方差之間的精確關(guān)系和近似關(guān)系。
計(jì)算機(jī)技術(shù)
在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中可以用基本不等式處理圖片。比如可以使用基本不等式對(duì)圖形的數(shù)字化數(shù)據(jù)進(jìn)行細(xì)化和轉(zhuǎn)換，從而獲得新的圖形索引下的目標(biāo)結(jié)果。基本不等式也可以計(jì)算網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的信息。比如可以計(jì)算中繼網(wǎng)絡(luò)的組合平均性并討論網(wǎng)絡(luò)的平均錯(cuò)誤率性能界限。
參考資料 >