最小公倍數是數論中的一個概念。兩個或多個整數公有的倍數叫做它們的公倍數，其中除0以外最小的一個公倍數就叫做這幾個整數的最小公倍數。同樣地，若干個整數公有的倍數中最小的正整數稱為它們的最小公倍數。整數的最小公倍數一般記作：，或者參照英文記法記作，其中是英語中"最小公倍數”一詞(least?common?multiple)的首字母縮寫。最小公倍數的概念最早可以追溯到古希臘數學。古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）和歐幾里得（Euclid）是最早研究最小公倍數的數學家。他們在研究整數和比例時，發現了最小公倍數的重要性。然而，直到17世紀，數學家約翰·菲利普·博爾赫斯（John Philip Borges）和勒讓德·德·朗德（Legendre de Lande）等人才正式將最小公倍數的概念納入數學理論框架中。
最小公倍數在數學中具有重要的作用，尤其在分數的運算和方程的解法中經常會用到。在分數的加減乘除運算中，我們需要將分母進行通分，使得分母相同，從而方便計算，通分的基礎就是找到分母的最小公倍數。最小公倍數可以用于解決周期性問題，如圓的周長和半徑之間的關系、天體運動的周期等。通過求最小公倍數，可以確定一個周期內事件的重復次數或時間間隔。
發展歷史
最小公倍數的概念可以追溯到古代數學發展的早期。古代埃及和巴比倫的數學家們在解決分數和比例問題時首次遇到了最小公倍數的概念。在中國，《九章算術》（中國數學史上的一部重要著作，記載了古代中國人在算術方面的研究成果）也記錄了與最小公倍數有關的問題，并給出了另一種求兩個數的最小公倍數的方法：更相減損法。這本書的成書時間可以追溯到公元前2世紀，因此可以認為最小公倍數的概念至少在這個時期已經被古代中國數學家所熟知。古希臘的數學家歐幾里得（Euclid）（公元前330-275），他被稱為“幾何之父”，著作《幾何原本》被稱為最成功的教科書，在這本書中提出了最小公倍數的概念，歐幾里得在這本書中主要研究了幾何學的基礎知識，但也涉及了一些數論方面的內容。他給出了一種輾轉相除法的方法，用于計算兩個數的最小公倍數。在古代印度，數學家布拉馬古普塔（Brahmagupta）在其著作《布拉馬斯智慧》中也提到了最小公倍數的概念，也提出了一些與代數和數論相關的重要定理和問題。他研究了二次方程的解，提出了解決二次方程的一般公式。他還給出了一個重要的定理，即兩個互質的數的乘積與它們的最小公倍數之積相等，這個定理在代數和數論中被廣泛應用。他給出了計算兩個數的最小公倍數的方法，這種方法類似于歐幾里得算法，但稍有不同。布拉馬古普塔的方法在印度數學中得到了廣泛應用。
隨著數學的發展，最小公倍數的概念逐漸被更多的數學家所研究和應用。在17世紀，法國數學家皮耶·德·費瑪（Pierre de Fermat），他是現代數學的重要奠基人之一，對代數、數論和幾何學等領域做出了許多重要的貢獻。費爾馬是自學成才的數學家，他的數學才華在當時就備受贊賞。在其著作中研究了最小公倍數的性質。他提出了費爾馬定理，即如果兩個數互質，那么它們的最小公倍數等于它們的乘積。這一定理為后來的數論研究提供了重要的基礎。 到了18世紀，最小公倍數的概念在數學界得到了更為深入的研究。18世紀瑞士杰出的數學家、物理學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），被公認為現代數學的巨人，提出了一系列關于最小公倍數性質的定理和問題。他在研究最小公倍數時，提出了歐拉函數的概念，用于計算與某個數互質的數的個數。這一概念對于解決一些數論問題具有重要意義。隨著數學的發展，最小公倍數的研究不斷深入?，F代數學中，最小公倍數的概念已經被廣泛應用于數論、代數、幾何等不同分支的研究中。
相關概念
整數的概念
整數（integer）包括正整數、零、負整數。其中零和正整數統稱為自然數，例如：（非負自然數）。負整數：通常我們用Z表示整數集，用N表示自然數。
正整數：
正整數是大于零且不包含小數部分和分數部分的整數。人類最早的數數和計數活動。在古代文明中，人們使用手指、石頭、竹簽等物品來進行計數。
零：
古印度的零符號最早被稱為“sunya”，意為“空”。由古印度數學家發展并應用。
負整數：
負整數是小于零的整數，通過在整數前面加上負號 "-" 來表示。在古印度數學中，負數的概念首次被引入到計算系統中。減法的需要促進了負整數的發展。
因數和倍數
設 是任意兩個整數, 其中, 如果存在一個整數 使得等式 :
成立,我們就說 整除 或 被整除, 記作, 此時我們把叫作的因數,把叫作的倍數
最大公因數
最大公因數（Greatest Common Divisor，簡稱GCD），也稱為最大公約數、最大公因子，是指兩個或多個數共有的最大的因數。對于給定的兩個整數和，最大公因數可以用來表示。
定義：設 個整數 .若整數 是它們 之中每一個的因數,那么就叫作的一個公因數 . 整數的公因數中最大的一個叫作最大公因數, 記作, 若, 我們說互質或互素,若中每兩個整數互質,我們就說它們兩 兩互質 。
質數和合數
質數（Prime Number）是指大于1的自然數中，除了1和它本身之外沒有其他正因數的數。換句話說，質數只能被1和自身整除，不能被其他數整除。例如，2、3、5、7、11等都是質數。
合數（Composite Number）是指大于1的自然數中，除了1和它本身之外還有其他正因數的數。換句話說，合數可以被大于1和小于它本身的正整數整除。例如，4、6、8、9、10等都是合數。
最小公倍數性質
（1）互素性：如果兩個整數和互質（即它們的最大公約數為1），那么它們的最小公倍數為。這是因為互質的兩個數沒有共同的質因數，它們的乘積就是它們的最小公倍數。
（2）可交換性質：最小公倍數具有可交換性，即。這是因為最小公倍數不依賴于數字的順序，只與數字的值有關。
（3）乘積性質：對于任意的整數、和，有。這個性質表明，計算多個數的最小公倍數可以將它們拆分成兩兩計算，然后再將結果的最小公倍數相乘。
（4）最大公因數與最小公倍數的關系：對于任意兩個整數和，它們的最大公因數與最小公倍數的乘積等于和的乘積，即：
相關計算
帶余數除法
若是兩個整數, 其中 則存在著兩個整數及,使得 成立,而且 及 是唯一的 .其中，叫做 被除所得的不完全商, 叫作被除所得到的余數。
證明：
作整數序列 則必在上述序列的某兩項之間, 即存在一個整數使得成立 .令, 則 ,而 。
公式法
設是任意兩個正整數, 則
(i) 的所有公倍數 就是的所有倍數;
(ii)的最小公倍數等于以它們的最大公因數除它們的乘積所得的商,
即其中表示的最小公倍數，表示的最大公因數，特別地, 若, 則。
證明：設 是 的任一公倍數，由定義可設
令 ,由上式即得 ,由于得所以：。
因此
其中 t 滿足等式反過來, 當 t 為任一整數時, 為 的一個公倍數, 故上式可以表示 的一切公倍數 .令即得到最小的正數,
輾轉相除法
設 是任意兩個正整數, 由帶余數除法, 我們有下面的系列等式：
因為每進行一次帶余數除法,余數就至少減一, 而是有限的, 所以我們最多進行次帶余數除法, 總可以得到一個余數是零的等式,即,(1)式所指出的計算方法,叫作輾轉相除法。
證明：
若是任意兩個整數，則就是（1）中最后一個不等于零的余數，即
由以上的討論,我們可以看到,若兩整數中有一為零,而 另一數不為零時,則為不等于零的數的絕對值,若兩數都不是零時,則最大公因數可以由(1)實際地算出來。
相關定理
定理1
如果和是正整數，則,其中和分別是和的最小公倍數和最大公因數。
定理2
設,則最小公倍數(其中表示的最小公倍數)
定理3
最小公倍數滿足：（其中表示的最小公倍數）
定理4
設是個正整數,令（其中表示的最小公倍數）我們有：
若是個正整數，則
實際應用
最小公倍數在數學、工程、物理、音樂、金融等領域都有廣泛的應用。通過確定多個數值之間的最小公倍數，可以解決各種實際問題，提高計算的效率和準確性。在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒 輪齒數最好設計成素數，以增加兩齒輪齒數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。
齒輪問題
在工程領域中，齒輪是一種常見的傳動裝置，兩個或多個齒輪嚙合在一起可以實現傳動功能。最小公倍數可用于確定齒輪的傳動比，傳動比指的是兩個齒輪之間的轉速比，也是齒輪系統中齒數比。通過最小公倍數，可以尋找一個最小的公共單位，使得兩個齒輪之間的轉速比為整數。這樣可以確保齒輪之間的嚙合穩定，減少齒輪傳動的振動和噪音。還可以幫助我們確定周期性運動、傳動效率和制造參數等重要信息，為齒輪系統的設計、制造和使用提供關鍵的指導和依據。合理應用最小公倍數，可以實現齒輪傳動的穩定性、高效性和精確性，提高機械系統的性能和可靠性。
行星軌道排列
在天體力學中，行星的軌道位置和周期也可以通過最小公倍數來描述和計算。最小公倍數可以用于確定行星的周期性運動。每個行星都有自己的公轉周期，即繞太陽一周所需的時間。通過找到所有行星公轉周期的最小公倍數，我們可以確定一個周期單位，使得所有行星在這個單位時間內完成整數個公轉周期。這樣可以保持行星的周期性運動，使得它們的相對位置和軌道排列保持穩定。還可以幫助我們確定行星的共線排列。有時候，太陽系中的行星會出現共線的現象，即它們在一條直線上排列。最小公倍數還可以用于研究行星的周期性共振。行星周期性共振是指行星在它們的公轉周期之間存在整數比例關系的現象。通過找到行星公轉周期的最小公倍數，我們可以確定一個最小的公共單位，使得所有行星的周期之間存在整數比例。這樣，行星之間的共振關系將會更加穩定和規律。通過合理應用最小公倍數，我們可以更好地理解行星的運動規律和相互關系，推動天體物理學的研究和探索。
參考資料 >
初等數論及其應用.北京大學.2023-09-30
空間數學.National Aeronautics and Space Administration Goddard Space Flight Center.2023-10-02