牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz 公式），通常也被稱(chēng)為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。
牛頓-萊布尼茨公式的內(nèi)容是，如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且存在原函數(shù)，則它在區(qū)間[a，b]上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量。艾薩克·牛頓在1666年寫(xiě)的《流數(shù)簡(jiǎn)論》中利用運(yùn)動(dòng)學(xué)描述了這一公式，??1677年,戈特弗里德·萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。??因?yàn)槎咦钤绨l(fā)現(xiàn)了這一公式，于是命名為牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算過(guò)程。
簡(jiǎn)介
牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來(lái)，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿(mǎn)意的方法。
發(fā)展簡(jiǎn)史
1670年，英國(guó)數(shù)學(xué)家伊薩克·巴羅在他的著作《幾何學(xué)講義》中以幾何形式表達(dá)了切線(xiàn)問(wèn)題是面積問(wèn)題的逆命題，這實(shí)際是牛頓-萊布尼茨公式的幾何表述。?
1666年10月，艾薩克·牛頓在它的第一篇微積分論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》中解決了如何根據(jù)物體的速度求解物體的位移這一問(wèn)題，并討論了如何根據(jù)這種運(yùn)算求解曲線(xiàn)圍成的面積，首次提出了微積分基本定理。?
德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨在研究微分三角形時(shí)發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)的面積依賴(lài)于無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)值和，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理：給定一個(gè)曲線(xiàn)，其縱坐標(biāo)為y，如果存在一條曲線(xiàn)z，使得dz/dx=y，則曲線(xiàn)y下的面積∫ydx=∫dz=z。
證明
面就是該公式的證明全過(guò)程：
我們知道，對(duì)函數(shù)f(x)于區(qū)間【a,b】上的定積分表達(dá)為：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個(gè)變量，這樣我們就定義了一個(gè)新的函數(shù)：
Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個(gè)定值是沒(méi)意義的。為了只表示積分上限的變動(dòng)，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：
Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下來(lái)我們就來(lái)研究這個(gè)函數(shù)Φ(x）的性質(zhì)：
1、定義函數(shù)Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ’(x)=f(x)。
證明：讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得，
也可自己畫(huà)個(gè)圖，幾何意義是非常清楚的。)
當(dāng)Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時(shí)，ξ趨向于x，f(ξ)趨向于f(x)，故有l(wèi)imΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可見(jiàn)這也是導(dǎo)數(shù)的定義，所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F(xiàn)（x）是f(x)的原函數(shù)。
證明：我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（積分區(qū)間變?yōu)椤綼,a】，故面積為0），所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x），當(dāng)x=b時(shí)，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再寫(xiě)成x，就變成了開(kāi)頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
相關(guān)人物
牛頓
艾薩克·牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線(xiàn)、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（積分法）。
定理意義
牛頓-萊布尼茨公式的發(fā)現(xiàn)，使人們找到了解決曲線(xiàn)的長(zhǎng)度，曲線(xiàn)圍成的面積和曲面圍成的體積這些問(wèn)題的一般方法。它簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算，只要知道被積函數(shù)的原函數(shù)，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。
牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門(mén)真正的學(xué)科。?
牛頓-萊布尼茨公式是積分學(xué)理論的主干，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型余項(xiàng)的泰勒公式。自20世紀(jì)“勒貝格積分”的提出以來(lái)，實(shí)函數(shù)積分的概念完成了一次重大的飛躍，在勒貝格積分的意義下也有對(duì)應(yīng)的牛頓-萊布尼茨公式；牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到高維方體積分、二重積分與曲線(xiàn)積分，從一維推廣到多維，這些推廣可視為“區(qū)域積分與邊界關(guān)系”的高維拓展，并與格林公式和高斯公式密切相關(guān)。?
公式應(yīng)用
牛頓-萊布尼茨公式簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算，利用該公式可以計(jì)算曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，平面曲線(xiàn)圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算壩體的填筑方量。???
牛頓-萊布尼茨公式在物理學(xué)上也有廣泛的應(yīng)用，計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體的路程，計(jì)算變力沿直線(xiàn)所做的功以及物體之間的萬(wàn)有引力。?
牛頓-萊布尼茨公式促進(jìn)了其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，該公式在微分方程，傅里葉變換，概率論，復(fù)變函數(shù)等數(shù)學(xué)分支中都有體現(xiàn)，例如在概率論中用于計(jì)算分布函數(shù)的積分。
參考資料 >
牛頓-萊布尼茨公式是什么?_作業(yè)幫.作業(yè)幫.2021-08-24