閉集（closed set）是一種特殊的集合，它是指補集為開集的集合。在度量空間以及拓撲空間均有相應的定義。
在19世紀70年代，德國數(shù)學家格奧爾格·康托爾（Cantor）對任意元素的集合進行了研究，提出了無限集的勢、序型等的概念，奠定了集合論的理論基礎。他在1874年引入基數(shù)概念，證明了超越數(shù)大大多于代數(shù)數(shù)，隨后，他提出了“連續(xù)統(tǒng)假設”，定義了序型、超限序數(shù)概念，以及聚點、開集、閉集等概念，為一般拓撲學的發(fā)展開辟了道路。
閉集還可以通過聚點與附貼點來描述，同時，它與導集、閉包的概念相關。度量空間以及拓撲空間中的閉集具有一些基本性質。在拓撲空間中，開集與閉集的差集是開集，閉集與開集的差集是閉集；在度量空間中，任意多個閉集的交仍為閉集，有限多個閉集的并仍為閉集。由這些性質可以引出一些具體的實例。
閉集可以從一般拓撲學推廣至模糊拓撲學，其中閉集可以用來刻畫分離性和模糊仿緊性。此外，在工程學中，閉集的穩(wěn)定性與脈沖軌的擬穩(wěn)定性、回復性、吸引子等有關，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和極限集映射的連續(xù)性有著重要影響。
定義
閉集是指補集為開集的集合，在度量空間以及拓撲空間中都有定義。
度量空間中
設為度量空間，對任意的，，稱為開球（open sphere），其中，稱為球心（center of a sphere），稱為半徑（radius）。
（1）開球通常稱為的鄰域（Neighborhood）。
（2）設，若存在>0，使得則稱為集合的內點（interior point）。
（3）若集合的所有點都是內點，則稱其為開集（open set）。
閉集：如果集合的補集是開集，則稱集合為閉集。
拓撲空間中
度量空間作為拓撲空間時，球形鄰域族是該拓撲空間的一個拓撲基。
在拓撲空間中，子集的內點與內部，閉集、子集的聚點與閉包，收斂點列的極限，稠密集。疏朗集、綱等概念的定義均可仿照度量空間的同名概念的定義得到，為此，只須在相應的同名概念的定義中把“度量空間”改為“拓撲空間”，同時把“球形鄰域”改為“鄰域”即可。
設是非空集，是某些子集所成的集族。如果滿足條件：
（1）和在中；
（2）的任意個成員的交集在中；
（3）的有窮個成員的并集在中。
則稱為集合的一個拓撲，稱為一個拓撲空間，的成員稱為的閉集。
歷史
集合論于16世紀末產(chǎn)生，但在當時，人們?yōu)榱私?a href="/hebeideji/7294256480051806219.html">微積分學的理論基礎，只對其中的數(shù)集進行研究。在19世紀70年代，德國數(shù)學家格奧爾格·康托爾（Cantor）對任意元素的集合進行了研究，提出了無限集的勢、序型等的概念，奠定了集合論的理論基礎。他在1874年引入基數(shù)概念，證明了超越數(shù)大大多于代數(shù)數(shù)，但也遭到某些數(shù)學家的反對。隨后，他提出了“連續(xù)統(tǒng)假設”，定義了序型、超限序數(shù)概念，以及聚點、開集、閉集等概念，為一般拓撲學的發(fā)展開辟了道路。他在1895年首先給出集合的描述：一組確定的彼此不同的具有相似性質的對象組成的整體稱為集合，而組成集合的每一個對象就叫做集合的元素。
相關概念
附貼點
定義：設是的一個子集，是內的一個點，未必在內。如果每個球都至少包含的一個點，那么稱為的一個附貼點。
例：
（1）如果，則附貼于，因為每個球都包含。
（2）如果是的一個有上界的子集，則附貼于。
有些點附貼于是由于每個球都含有的異于的點，這些點稱為聚點。
閉集與附貼點具備這樣的聯(lián)系：中的集合是閉集， 當且僅當它包含它的全部附貼點。
證明：假定是閉集，令是的附貼點，要證明。假定，將會推出矛盾。如果，則。因為是開集，所以有某個球位于內。于是不包含的任何點，這同附貼于的事實矛盾。
為了證明逆命題，假定包含它所有的附貼點，要證明是閉集。假定，則，所以不附貼于。 于是有某個球不與相交，從而，所以是開集，由此知是閉集。
聚點
定義：設，如果每個球至少包含的一個與不同的點，則稱為的聚點。
換句話說，是的一個聚點，當且僅當附貼于。如果但不是的聚點，則稱為的孤立點。
例：
（1）由形如的數(shù)組成的集合以為聚點。
（3）閉區(qū)間的每一個點都是由開區(qū)間內的數(shù)組成的集合的聚點。
定理： 如果是的聚點，則每一個球都包含的無窮多個點。
證明：假定情況是相反的，也就是說，假定存在一個球只包含的有限個異于的點，比如如果表示正數(shù)中最小的一個，則將是一個關于的球，它不包含的異于的點，這是一個矛盾。這個定理特別地隱含著這樣的結論：一個集合除非它從一開始就含有無窮多個點，否則它就不可能有聚點。然而，它的逆命題一般來說是不對的。例如，整數(shù)集就是一個沒有聚點的無限集。
閉包
定義：由集合的全部附貼點組成的集合稱為的閉包，記為。
對于任何集合都有，因為的每個點都附貼于。由閉集與附貼點的關系表明，相反的結論當且僅當是閉集時成立。因此閉集與閉包具備這樣的聯(lián)系：集合是閉集，當且僅當。
或用另一種證明方法：
先證充分性，設為閉集，則所以，。
再證必要性，設，則，所以，為閉集。
導集
定義：由集合的全部聚點組成的集合稱為的導集，記為。
對任一集合成立。由閉集與閉包的關系可知是閉集當且僅當換句話說，閉集與聚點的聯(lián)系：內的集合是閉集， 當且僅當它包含它的全部聚點。
閉集與閉包、導集的關系：任意一個集合的導集和閉包都是閉集。
性質
度量空間中
性質1：閉球是閉集，空集以及空間本身也都是閉集，中一條直線是閉集。
性質2：任意多個閉集的交仍為閉集，任意多個開集的并仍為開集。
證明：設集，其中均為閉集。設，若x是F的極限點，則它的任意鄰域必包含集F的無限多個點，故必包含所有中任一個集的無限多個點（因為），所以x為每一的極限點，由于為閉集，故（對一切成立），因而。這就證明了任意多個（有限多個或無限多個）閉集的交集仍為閉集。
性質3：有限多個開集的交仍為開集，有限多個閉集的并仍為閉集。
證明：設有閉集，它們的并集。為了要證明是閉集，必須證明任何極限點，即只要證是某一個的極限點就夠了（因為是閉集，極限點必屬于它因而也屬于），可以用反證法：若不是所有的極限點，則存在鄰域，它不包含中任何異于的點（其中），取中最小的一個（因它們的個數(shù)是有限的，所以必定存在），它不包含中異于的任何點，這與是的極限點相矛盾。這就證明了是閉集。
值得注意的是，無限多個開集的交不一定是開集，無限多個閉集的并不一定是閉集。例如， 。
性質4：在度量空間中，閉集可以描述為包含它的所有的極限點的集合，即，在度量空間中，，集合是閉的，當且僅當對于的每一個收斂于點的點列，都有。
證明：首先設是閉的。假定，，。需證明就會導出矛盾，是開的，因此，和一起就意味著有一個正整數(shù)，使得時，。這就與假定，，相矛盾。
反之，假設是這樣的一個集合，對于其中有，，的每一個點列都有。需證明是閉的，或者等價地證明是開的。如果不是開的，那么一定有一點，使得對于的每一個鄰域，。特別是，，。于是，有一個點列使得，且，那么由集合的已經(jīng)假定的性質導出這個矛盾。因此是開的，是閉的。
拓撲空間中
性質5：開集與閉集的差集是開集，閉集與開集的差集是閉集。
證明：設是開集，是閉集。。因為是閉集，所以是開集。從而，是開集，同理，是閉集。
性質6：設是拓撲空間的拓撲子空間，則有為中閉集存在的閉集使。
證明：為中閉集為中開集存在的開集使存在的閉集使，從而。
性質7：若是拓撲空間中的閉集，是一個連續(xù)映射，那么是中的閉集。
相關示例
例1：取則或都是的內點。取，聚點為，但。取，聚點為，而。則為開集，為閉集，與有相同的界點，均為和。
例2：以為中心，為半徑的閉球是中的閉集。
例3：是閉集；既不是開集也不是閉集。空集和既是開集也是閉集。對于兩個閉集、 ，也是閉集，而它們的交集是空集。此外和也是閉集。
例4：都是中的閉集。
例5：說明任意多個開集的交集可能是閉集， 說明任意多個閉集的并集可能是開集。
例6：中的閉區(qū)間是閉集。個一維閉區(qū)間的笛卡兒積是中的閉集，稱為維閉區(qū)間。
應用
工程學
類似于連續(xù)動力系統(tǒng)，在脈沖動力系統(tǒng)中，閉集的穩(wěn)定性同樣是一個極為重要的性質，它與脈沖軌的擬穩(wěn)定性、回復性、吸引子等諸多概念和性質有著密切的聯(lián)系。而作為脈沖動力系統(tǒng)中一類特殊閉集的極限集，其穩(wěn)定性又與相應的極限集映射的連續(xù)性有著密切聯(lián)系。關于脈沖動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究大多集中在軌道的穩(wěn)定性上，而脈沖系統(tǒng)中有關極限集局部穩(wěn)定性與相應集值映射連續(xù)性間關系的研究成果尚不多見。
推廣
定義
算子：設是，。算子：定義為，。
閉集：設是，。稱為中的閉集，若，中的全體閉集記以。
集：設是，，，稱為集。
遠域：設是，，，，稱為的遠域，若，的全體遠域記作。
閉集可以用來刻畫分離性和模糊仿緊性。
性質
設是，。算子有如下性質：，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
設是，，閉集具有如下性質：
（1）若，則，，即；
（2），；
（3），。
參考資料 >