菱形（英文名：Rhombus）是特殊的平行四邊形之一，是指在同一平面內(nèi)，四條邊都相等的平行四邊形，菱形的對(duì)角線互相垂直并平分一組對(duì)角。
菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)，同時(shí)，它又具有一般平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)。菱形面積公式可用表示，也可用（a、b為對(duì)角線長）求解。菱形的周長=邊長×4。
菱形一詞源自希臘語“rhombos”，意為“陀螺”或“用繩子旋轉(zhuǎn)的木塊”。菱形在日常生活中隨處可見，其應(yīng)用范圍從交通標(biāo)志牌到珠寶，再到室內(nèi)外設(shè)計(jì)。菱形紋在中國的應(yīng)用可謂源遠(yuǎn)流長，凡具有菱形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的一類裝飾圖形即為“菱形紋”。菱形紋既包括由完全標(biāo)準(zhǔn)的菱形所組成的紋樣，也包括在菱形的基礎(chǔ)上經(jīng)過發(fā)展和演變形成的類似菱形的一類圖形。
命名
菱形（rhombus）一詞源自希臘語“rhombos”，意為“陀螺”或“用繩子旋轉(zhuǎn)的木塊”。菱形（有時(shí)也稱為rhombi）在日常生活中隨處可見，其應(yīng)用范圍從交通標(biāo)志牌到珠寶，再到室內(nèi)外設(shè)計(jì)。
定義
在歐幾里得幾何（Euclidean geometry）中，平行四邊形是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，同時(shí)它是一個(gè)中心對(duì)稱圖形。所有的平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)。
菱形（(rhombus）是特殊的平行四邊形之一，是指在同一平面內(nèi)，四條邊都相等的平行四邊形，菱形的對(duì)角線互相垂直并平分一組對(duì)角。
歷史
平行四邊形屬于幾何學(xué)，而幾何學(xué)的產(chǎn)生是由于人類生產(chǎn)和生活的需要。在原始社會(huì)里，人們已經(jīng)積累了許多物體形狀和大小，以及它們的分布位置關(guān)系的知識(shí)。經(jīng)過勞動(dòng)人民長期的生產(chǎn)和生活實(shí)踐，積累了許多幾何知識(shí)，并不斷地豐富起來，形成了人類知識(shí)的一個(gè)分支。中國對(duì)于幾何學(xué)也很早就有研究，在中國黑陶文化時(shí)期（約公元前一千年），陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內(nèi)接正方形等與平行四邊形相關(guān)的圖樣。2000年前，在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中方匡章提出了長方形的面積公式。
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是歷史上第一個(gè)系統(tǒng)提出平行四邊形的相關(guān)理論的人，他的作品《幾何原本》成書于公元前300年左右，作品中詳細(xì)地闡述了平行四邊形的基本性質(zhì)和相關(guān)理論，其中的部分理論直到如今仍得到應(yīng)用。
性質(zhì)
1、菱形有著平行四邊形的一切性質(zhì)。
2、菱形四條邊的長度都相等。
3、菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
4、菱形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。其對(duì)稱軸為兩條對(duì)角線所在的直線。當(dāng)菱形的四個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，該菱形即為正方形，此時(shí)各內(nèi)角均為直角。
判定
1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
2、兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
3、四條邊長度都相等的四邊形是菱形。
4、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形。
計(jì)算公式
面積
菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，面積公式可用；也可用（(a、b為對(duì)角線長）求解。
周長
菱形的周長，即其邊緣的總長度，是通過將菱形一條邊的長度乘以4來計(jì)算的，菱形的周長=4×邊長。
數(shù)學(xué)特征
菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等這一性質(zhì)，推出菱形的四條邊都相等。反過來，如果一個(gè)四邊形四邊都相等，很容易地先證明它是平行四邊形，再根據(jù)定義知道它是菱形。因此，四條邊都相等的四邊形是菱形。
菱形是一種特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形所有的性質(zhì)，同時(shí)，它又具有一般平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)。
設(shè)有菱形ABCD，它的對(duì)角線AC、BD相交于O，則在△ABC和△ADC中AB=AD，BC=CD，AC=AC，所以這兩個(gè)三角形全等，從而∠1=∠2，即AO是等腰三角形ABD的頂角平分線，所以AO垂直于BD。由此得到定理：“菱形有下面的性質(zhì)：(1）對(duì)角線平分對(duì)角；(2）兩條對(duì)角線互相垂直。”
反過來，(1）“對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形是菱形”；(2）“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這兩個(gè)逆定理也是成立的。先看（1），若□ABCD的對(duì)角線AC平分對(duì)角，則由平行四邊形對(duì)角相等，容易證明∠BAC=∠BCA，即△ABC為等腰三角形，AB=BC，所以ABCD是菱形。再看（2），若□ABCD的對(duì)角線互相垂直，即△ABD的底邊BD上的高與中線重合，所以△ABD為等腰三角形，從而ABCD為菱形。
(1）證明四邊形的四邊都相等。
(2）先證明四邊形是平行四邊形，再證明以下條件之一：i）兩條鄰邊相等；或ii）對(duì)角線平分對(duì)角；或iii）對(duì)角線互相垂直（或者從四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分來證）。
計(jì)算運(yùn)用
實(shí)例解讀一
【如圖1】AD是△ABC的角平分線，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，試判斷四邊形AEDF的形狀并說明理由。
【解】四邊形AEDF是菱形。理由：因?yàn)镈E//AC，DF//AB，所以四邊形AEDF是平行四邊形，且∠DAE=∠ADF，又因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，即∠DAE=∠DAF，所以∠ADF=∠DAF，從而AF=DF，因此四邊形AEDF是菱形。
【知識(shí)點(diǎn)】識(shí)別一個(gè)四邊形是菱形，先說明它是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等，這是最常用的一種基本方法。本題中判斷這兩種圖形分別采用了定義法，每一種特殊圖形的定義都是識(shí)別該圖形的最原始方法，而其他判定方法往往都是由此而出。
實(shí)例解讀二
【如圖2】所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB邊的垂直平分線交對(duì)角線AC于F，E為垂足，連結(jié)DF，求∠CDF。
【解】因?yàn)?a href="/hebeideji/4085650033047797431.html">四邊形ABCD是菱形，所以∠BAC=∠DAC=?∠BAD=?×80°=40°；且AB∥DC，所以∠ADC=180°?80°=100°.因?yàn)镕E垂直平分AB，所以AF=BF，從而∠FBA=∠FAB=40°；又AB=AD，故將△ABF沿AC翻折后可與△ADF重合，于是∠FDA=∠FBA=40°，因此∠CDF=100°?40°=60°。
【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)為我們解決菱形問題提供了重要條件。本題求解時(shí)運(yùn)用了菱形的四邊相等、對(duì)邊平行及每條對(duì)角線平分一組對(duì)角等性質(zhì)，另外，在說明∠FDA=∠FBA時(shí)，也可由菱形的軸對(duì)稱性直接推出。
實(shí)例解讀三
【如圖3】在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE//AC，CE//BD，連結(jié)OE，試說明OE與CD互相垂直平分。
【分析】欲說明OE與CD互相垂直平分，只要說明四邊形OCED是菱形即可。由矩形性質(zhì)不難得到OC=OD，故應(yīng)先推出四邊形OCED是平行四邊形。
【解】因?yàn)镈E//AC，CE//BD，所以四邊形OCED是平行四邊邊形。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AC=BD，且，，則，從而□OCED是菱形，因此，OE與CD互相垂直平分。
【知識(shí)點(diǎn)】要說明一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，應(yīng)考慮先說明這個(gè)四邊形是菱形，本題綜合運(yùn)用了平行四邊形、菱形的定義以及矩形與菱形的性質(zhì)，最終推出了結(jié)論。
文化運(yùn)用
菱形紋在中國的應(yīng)用可謂源遠(yuǎn)流長。凡具有菱形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的一類裝飾圖形即為“菱形紋”。菱形紋既包括由完全標(biāo)準(zhǔn)的菱形所組成的紋樣，也包括在菱形的基礎(chǔ)上經(jīng)過發(fā)展和演變形成的類似菱形的一類圖形。菱形紋由斜直線相互交叉或單個(gè)菱形圖案連續(xù)排列的方式構(gòu)成。菱形紋樣因菱形對(duì)稱的性質(zhì)，同樣具有對(duì)稱均衡的形式美。菱形紋樣可以沿著兩條對(duì)角線和兩條中點(diǎn)線作對(duì)稱變換，由這種單個(gè)菱紋組成的菱形紋，也有對(duì)稱的特點(diǎn)。在眾多的裝飾紋樣中，表現(xiàn)出規(guī)則的、整齊劃一的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生安靜、和諧、莊重感，體現(xiàn)了自然和生命形態(tài)的靜止?fàn)顟B(tài)。
菱形紋以二方連續(xù)、四方連續(xù)的形式無限重復(fù)展開時(shí)，就會(huì)呈現(xiàn)出一種富有律動(dòng)感的節(jié)奏。菱形紋以幾何菱形為造型基礎(chǔ)，疊加不同的幾何紋、植物紋，為了突出主要特征而刪除不必要的瑣碎細(xì)節(jié)。其構(gòu)成方式?jīng)Q定了它簡潔的造型特點(diǎn)，別的紋樣很少具備這種對(duì)比效果。作為一種典型的幾何抽象紋樣，菱形紋在后期的裝飾紋樣中，更多的是結(jié)合具象紋樣出現(xiàn)，如植物紋、動(dòng)物紋、人物紋。
相關(guān)形狀
矩形
定義
有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形。
性質(zhì)
1，矩形具有平行四邊形的全部性質(zhì)；
2，矩形的兩條對(duì)角線必相等；
3，矩形的四個(gè)角都是直角；
4，矩形的兩條對(duì)角線分它為兩組全等的等腰三角形；矩形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。矩形有兩條對(duì)稱軸，分別是其對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。
判定
1，四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。
2，兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。
3，兩組對(duì)邊中點(diǎn)的兩條連線成軸對(duì)稱的四邊形為矩形。
正方形
定義
一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。
性質(zhì)
1，正方形有著平行四邊形、矩形和菱形的全部性質(zhì)。
2，正方形的兩條對(duì)角線都與邊成45度角。
3，正方形共有四條對(duì)稱軸。
4，正方形的兩條對(duì)角線將正方形分為四個(gè)全等的等腰直角三角形。
判定
1，一組鄰邊相等的矩形是正方形。
2，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
3，對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。
4，對(duì)角線相等的菱形是正方形。
參考資料 >
rhombus.rhombus.2025-12-03