極值的定義為若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，對(duì)一切，有（），則稱函數(shù)在點(diǎn)處取得極大（小）值，稱點(diǎn)為極大（小）值點(diǎn)，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。
極值存在的必要條件為設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，若是的極值點(diǎn)，則，。
極值是函數(shù)的局部性概念，與最值不同。此外，極大值可能小于極小值，極小值可能大于極大值。
基本簡(jiǎn)介
極值是變分法的一個(gè)基本概念。泛函在容許函數(shù)的一定范圍內(nèi)取得的最大值或最小值，分別稱為極大值或極小值，統(tǒng)稱為極值。使泛函達(dá)到極值的變?cè)瘮?shù)稱為極值函數(shù)，若它為一元函數(shù)，通常稱為極值曲線。極值也稱為相對(duì)極值或局部極值。
“極大值”和“極小值”的統(tǒng)稱。如果函數(shù)在某點(diǎn)的 值大于或等于在該點(diǎn)附近任何其他 點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn)的值 為函數(shù)的“極大值”。如果函數(shù)在某 點(diǎn)的值小于或等于在該點(diǎn)附近任何 其他點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn) 的值為函數(shù)的“極小值”。
數(shù)學(xué)詞典表述
函數(shù)在其定 義域的某些局部區(qū)域所達(dá)到的相對(duì) 最大值或相對(duì)最小值。當(dāng)函數(shù)在其 定義域的某一點(diǎn)的值大于該點(diǎn)周圍 任何點(diǎn)的值時(shí)，稱函數(shù)在該點(diǎn)有極 大值; 當(dāng)函數(shù)在其定義域的某一點(diǎn)的值小于該點(diǎn)周圍任何點(diǎn)的值時(shí)，稱函數(shù)在該點(diǎn)有極小值。這里的極 大和極小只具有局部意義。因?yàn)楹?數(shù)的一個(gè)極值只是它在某一點(diǎn)附近 的小范圍內(nèi)的極大值或極小值。函 數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)可能有許多極 大值或極小值，而且某個(gè)極大值不 一定大于某個(gè)極小值。函數(shù)的極值 通過(guò)其一階和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定。對(duì)于一元可微函數(shù)f (x)，它在某點(diǎn)x0有極值的充分必要條件是f(x)在x0的某鄰域上一階可導(dǎo)，在x0處二階可導(dǎo)，且，那么：
1）若，則f在x0取得極大值；
2）若，則f在x0取得極小值。
基本分類
函數(shù)的一種穩(wěn)定值，即一個(gè)極大值或一個(gè)極小值，極值點(diǎn)只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)上取得。
在給定的時(shí)期內(nèi)，或該時(shí)期的一定月份或季節(jié)內(nèi)觀測(cè)到的氣候要素的最高值或最低值。如果這個(gè)時(shí)期是整個(gè)有觀測(cè)資料的時(shí)期，這個(gè)極值就是絕對(duì)極值。
基本定義
極值的定義如下：
若函數(shù)f(x)在x?的一個(gè)鄰域D有定義，且對(duì)D中除x?的所有點(diǎn)，都有，則稱f(x?)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值。
同理，若對(duì)D的所有點(diǎn)，都有，則稱f(x?)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。
極值的概念來(lái)自應(yīng)用數(shù)學(xué)中的最大最小值問(wèn)題。根據(jù)極值定律，定義在一個(gè)有界閉區(qū)域上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都必定達(dá)到它的最大值和最小值，問(wèn)題在于要確定它在哪些點(diǎn)處達(dá)到最大值或最小值。如果極值點(diǎn)不是邊界點(diǎn)，就一定是內(nèi)點(diǎn)。因此，這里的首要任務(wù)是求得一個(gè)內(nèi)點(diǎn)成為一個(gè)極值點(diǎn)的必要條件。
求解函數(shù)極值
尋求函數(shù)整個(gè)定義域上的最大值和最小值是最優(yōu)化的目標(biāo)。如果函數(shù)在閉合區(qū)間上是連續(xù)的，則通過(guò)極值定理存在整個(gè)定義域上的最大值和最小值。此外，整個(gè)定義域上最大值（或最小值）必須是域內(nèi)部的局部最大值（或最小值），或必須位于域的邊界上。因此，尋找整個(gè)定義域上最大值（或最小值）的方法是查看內(nèi)部的所有局部最大值（或最小值），并且還查看邊界上的點(diǎn)的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一個(gè)。
費(fèi)馬定理可以發(fā)現(xiàn)局部極值的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，它表明它們必須發(fā)生在關(guān)鍵點(diǎn)。可以通過(guò)使用一階導(dǎo)數(shù)測(cè)試，二階導(dǎo)數(shù)測(cè)試或高階導(dǎo)數(shù)測(cè)試來(lái)區(qū)分臨界點(diǎn)是局部最大值還是局部最小值，給出足夠的可區(qū)分性。
對(duì)于分段定義的任何功能，通過(guò)分別找出每個(gè)零件的最大值（或最小值），然后查看哪一個(gè)是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。
多元函數(shù)
對(duì)于多元函數(shù)，同樣存在極值點(diǎn)的概念。此外，也有鞍點(diǎn)的概念。
計(jì)算步驟
求極大極小值步驟
（1）求導(dǎo)數(shù)f'(x)；
（2）求方程的根；
（3）檢查f'(x)在方程的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值。
特別注意
f'(x)無(wú)意義的點(diǎn)也要討論。即可先求出的根和f'(x)無(wú)意義的點(diǎn)，再按定義去判別。
求極值點(diǎn)步驟
（1）求出的x值；
（2）用極值的定義（半徑無(wú)限小的鄰域f(x)值比該點(diǎn)都小或都大的點(diǎn)為極值點(diǎn)），討論f(x)的間斷點(diǎn)。
（3）上述所有點(diǎn)的集合即為極值點(diǎn)集合。
基本舉例
例題
求函數(shù)的極值
應(yīng)該是得到四個(gè)點(diǎn)，再代入值比較大小。
恒成立
得到或者
定理1（必要條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零
定理2（充分條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令
則在處是否取得極值的條件如下：
（1）時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；
（2）時(shí)沒(méi)有極值；
（3）時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。
利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：
第一步 解方程組，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)；
第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C；
第三步 定出的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值。
說(shuō)明
上面介紹的極值必要條件和充分條件都是對(duì)函數(shù)在極值點(diǎn)可導(dǎo)的情形才有效的。當(dāng)函數(shù)僅在區(qū)域D內(nèi)的某些孤立點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí)，這些點(diǎn)當(dāng)然不是函數(shù)的駐點(diǎn)，但這種點(diǎn)有可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，要注意另行討論。
參考資料 >