正矢（英文：Versine、Versed sine），是一種三角函數，定義為1減去余弦函數的值，即{\displaystyle {\textrm {versin}}\theta =1-\cos \theta \,}。它的定義域是整個實數集，值域在0到2之間。正矢函數是周期函數，最小正周期為{\displaystyle 2\pi }（360°），并且是一個偶函數，其圖像關于y軸對稱。在三角函數的歷史中，正矢曾被認為是十分重要的函數之一，尤其在計算器與計算機發明之前，由于其值總是非負的，因此在涉及乘法的計算中可以使用對數表來計算。
基本概念
正矢是現在基本不用的三角函數中的一種。歷史上，除了常見的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函數外，還使用過正矢和余矢等函數。三角函數在1631年徐光啟等人編譯的《大測》中已齊備。正矢函數的值域為0-2，其幾何意義是曲線上的兩點連成的直線上的中點到曲線上的垂直距離。正矢的相關函數半正矢在導航術中被廣泛使用，而余的半正矢的相關函數則運用于訊號處理、控制理論、幾率論和統計學中。
歷史與應用
正矢函數在歷史上被認為是重要的三角函數之一。在計算器與計算機發明之前，由于正矢函數的值總是非負的，因此在涉及乘法的計算中可以使用對數表來計算。現存最早的正弦值表是印度的Surya Siddhantha計算得出的，其可追溯到公元前3世紀，這個表是一個紀錄了從0到90°之每3.75°的正弦和正矢數值的表。正矢是應用半角公式sin^2(θ/2) = 1/2versin(θ)的中間步驟，該公式由托勒密導出，用于建立此類數學用表。半正矢函數出現于半正矢公式中，其可以據兩點的經度和緯度來確定大圓上兩點之間距離，且在導航術中被廣泛地使用。1835年，詹姆斯·英曼在其著作《航海與航海天文學：供英國海員使用》中創造了“半正矢”一詞以簡化地球表面兩點之間的距離計算，應用于球面三角學關于導航的部分。
數學性質
正矢、余矢、余的正矢、余的余矢、半正矢、半余矢、余的半正矢、余的半余矢的定義和它們的反函數，如反正矢（arcversine）、反余的正矢（arcvercosine）、反余矢（arccoversine）、反余的余矢（arccovercosine）、反半正矢（archaversine）、反余的半正矢（archavercosine）、反半余矢（archacoversine）、反余的半余矢（archacovercosine）等，都有明確的數學表達。這些函數具備圓周旋轉性值，例如正矢和余矢即角度差90度、正矢和余的正矢角度差180度、正矢和余的余矢角度差270度，以此類推。半值函數亦然。這些函數皆可以擴展到復平面，并且可以通過馬克勞林級數來表示。
近似值
當正矢函數值versine v與半徑r相比較小時，可以透過近似公式從半弦長度L近似得出正矢值。如果正矢函數值很小，且已知正矢函數值、半徑和半弦長，則可以透過公式來估計計弧長s。這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀后，郭守敬提出了一個更準確的公式，也涉及弦弧間最大的距離。工程中使用的更準確的近似是：{\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}{8r}}
任意曲線和弦
術語“正矢”有時也用來描述任意平面曲線中弦與曲線間最大的距離，上面的圓是其中的一個特例。給定曲線中兩點之間的弦，從弦到曲線（通常在弦中點）的垂直距離v稱為正矢測量或軌道曲線正矢測量。對于直線，任何弦的正矢為零，因此該測量表征了曲線的直線度。在極限情況下，當弦長L趨近于零時，瞬時曲率的比率為8v/L^2。這種用法在鐵路運輸中尤其常見，它描述了鐵軌直線度的測量，并且它是鐵路測量的哈拉德方法之基礎。
參考資料 >