在概率理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，指數(shù)分布（也稱為負(fù)指數(shù)分布）是描述泊松過(guò)程中第k次隨機(jī)事件與第k+1次隨機(jī)事件出現(xiàn)的時(shí)間間隔的概率分布，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨(dú)立地發(fā)生的過(guò)程。這是伽馬分布的一個(gè)特殊情況。它是幾何分布的連續(xù)模擬，它具有無(wú)記憶的關(guān)鍵性質(zhì)。除了用于分析泊松過(guò)程外，還可以在其他各種環(huán)境中找到。
指數(shù)分布與分布指數(shù)族的分類不同，后者是包含指數(shù)分布作為其成員之一的大類概率分布，也包括正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，伽馬分布，泊松分布等等。
指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特征是無(wú)記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布，當(dāng)s,t>0時(shí)有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時(shí)，它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率，與從開(kāi)始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等。
定義
概率密度函數(shù)
其中是分布的一個(gè)參數(shù)，常被稱為率參數(shù)（rate parameter）。即每單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生某事件的次數(shù)。指數(shù)分布的區(qū)間是。如果一個(gè)隨機(jī)變量X呈指數(shù)分布，則可以寫作：。
在不同的教材有不同的寫法，,因此概率密度函數(shù)，分布函數(shù)和期望方差有兩種寫法。
其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)θ的指數(shù)分布。
分布函數(shù)
指數(shù)分布的分布函數(shù)由下式給出：
有：
數(shù)學(xué)期望
期望值：
比方說(shuō)：如果你平均每個(gè)小時(shí)接到2次電話，那么你預(yù)期等待每一次電話的時(shí)間是半個(gè)小時(shí)。
方差
方差：
記號(hào)
若隨機(jī)變量x服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則記為。
特性
無(wú)記憶性
指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特征是無(wú)記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布
當(dāng)時(shí)有
即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時(shí)，它總共使用至少小時(shí)的條件概率，與從開(kāi)始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等。
分位數(shù)
參數(shù)λ的四分位數(shù)函數(shù)（Quartile 函數(shù)）是：
第一四分位數(shù)：
第三四分位數(shù)：
分布
在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，指數(shù)分布（Exponential 廣義函數(shù)）是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時(shí)間間隔等等。
許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來(lái)近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況，產(chǎn)品的失效是偶然失效時(shí)，其壽命服從指數(shù)分布。
指數(shù)分布可以看作當(dāng)威布爾分布中的形狀系數(shù)等于1的特殊分布，指數(shù)分布的失效率是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以分布函數(shù)簡(jiǎn)單。
應(yīng)用
在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對(duì)發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測(cè)量結(jié)果。這種分布表現(xiàn)為均值越小，分布偏斜得越厲害。
指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗(yàn)方案都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還用來(lái)描述大型復(fù)雜系統(tǒng)（如計(jì)算機(jī)）的平均故障間隔時(shí)間MTBF的失效分布。但是，由于指數(shù)分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機(jī)械可靠性研究中的應(yīng)用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t0的工作后，仍然如同新的產(chǎn)品一樣，不影響以后的工作壽命值，或者說(shuō)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t0的工作之后，該產(chǎn)品的壽命分布與原來(lái)還未工作時(shí)的壽命分布相同，顯然，指數(shù)分布的這種特性，與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過(guò)程的實(shí)際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過(guò)程。所以，指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式。
指數(shù)分布雖然不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布規(guī)律，但是，它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機(jī)器或系統(tǒng)的失效分布模型，特別是在部件或機(jī)器的整機(jī)試驗(yàn)中得到廣泛的應(yīng)用。
指數(shù)分布的圖形表面上看與冪律分布很相似，實(shí)際兩者有極大不同，指數(shù)分布的收斂速度遠(yuǎn)快過(guò)冪律分布。
指數(shù)分布的參數(shù)為λ，則指數(shù)分布的期望為，方差為。
參考資料 >