泊松回歸（英語：西莫恩·泊松 regression）是用來為計(jì)數(shù)資料和列聯(lián)表建模的一種回歸分析。
泊松回歸模型
代表由一組相互獨(dú)立的變量組成的向量，其泊松回歸的模型形式為:
亦可簡潔表示為：
此處，是 維的向量，由 個(gè)獨(dú)立變量（自變量向量）一個(gè)常向量（元素取值全為1）構(gòu)成，用一個(gè) θ代表第一個(gè)表達(dá)式當(dāng)中的 α和 β。
因此，當(dāng)已知泊松回歸模型當(dāng)中的 θ和解釋變量，其滿足泊松分布的被解釋變量的期望值可以由下式來預(yù)測：
是被解釋變量的觀測值，相應(yīng)的解釋變量為 ，可由極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood estimation）的方法來估計(jì)參數(shù) θ。極大似然估計(jì)不能通過解析表達(dá)式獲得解析解，是由其對數(shù)似然函數(shù)為凸函數(shù)的特性，可通過Newton–Raphson 或其他基于梯度下降的思想方法來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。
極大似然估計(jì)
如上所述，已知泊松回歸模型當(dāng)中的 θ和解釋變量 , 其回歸表達(dá)式為：
泊松分布的概率密度函數(shù)為：
現(xiàn)已知解釋變量的觀測值為由 m個(gè)向量組成 對應(yīng) m個(gè)被解釋變量的觀測值， . 若同時(shí)已知 θ, 則該組觀測值所對應(yīng)的聯(lián)合概率可由下式表達(dá)：
極大似然方法估計(jì) θ的核心思想是，去找到能使得基于當(dāng)前觀測值的聯(lián)合概率盡可能達(dá)到最大的 θ。（可理解為：變量的取值當(dāng)前觀測值，與取值為其他任何數(shù)值相比，是發(fā)生概率最高的事件）。既然目標(biāo)是尋找到最優(yōu)的 θ，可以先將上式的等號左邊簡單表達(dá)為關(guān)于 θ的表達(dá)式：
注意等號右邊的表達(dá)式并未改寫，但通常難于付諸計(jì)算，因而采用其對數(shù)變化后的表達(dá)式（ log-likelihood）即：
由于 θ僅出現(xiàn)在似然函數(shù)的前兩項(xiàng)，因而在極大化似然函數(shù)的運(yùn)算過程中，可以只考慮前兩項(xiàng)。可以刪去第三項(xiàng) ，待優(yōu)化的似然函數(shù)可以簡潔表達(dá)為：
為了找到極大值，需要求解方程：
可以通過對其似然函數(shù)取負(fù)值（negative log-likelihood）,
是一個(gè)凸函數(shù), 標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化方法可以考慮來求解θ的最優(yōu)值。統(tǒng)一的方法是Newton-Raphson 與Iterative Weighted Least 史克威爾（IWLS）算法。給θ一組初始值，IWLS 是通過多次迭代更新直到θ收斂。
簡介
泊松回歸，并假設(shè)它期望值的對數(shù)可被未知參數(shù)的線性組合建模。泊松回歸模型有時(shí)（特別是當(dāng)用作列聯(lián)表模型時(shí)）又被稱作對數(shù)-線性模型。
2014年巴西世界杯，所有的數(shù)據(jù)分析專家都以數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，分析員最后都會(huì)將其整合成模型。通常情況下，建模人員會(huì)把問題從“哪一支隊(duì)伍會(huì)勝出”改為“X隊(duì)和Y隊(duì)比賽，X隊(duì)會(huì)進(jìn)多少個(gè)球”，這里使用到的是一種名為“雙變量泊松回歸分析法”(bivariate Poisson regression)。
“雙變量”指的是，在做出某個(gè)單一結(jié)果的預(yù)測時(shí)需要參考兩個(gè)相互影響的因素，比如一場比賽中的X隊(duì)和Y隊(duì)的表現(xiàn)。“回歸分析法”指將即有數(shù)據(jù)填充到模型中去。而“泊松分布”則是很有趣的分析方法。
試想像，你站在路旁，想要知道一分鐘會(huì)有多少汽車急馳而過。首先，你必須收集數(shù)據(jù)。利用秒表和計(jì)數(shù)器，第一分鐘，假設(shè)有15輛車駛過；第二分鐘，18輛；而下一分鐘只有4輛。持續(xù)記錄下去，你就可以得到一個(gè)模型，這便是“泊松分布”的原型。這項(xiàng)分析方法是由法國數(shù)學(xué)家西莫恩·泊松提出，用于估測人們做出錯(cuò)誤判斷的幾率。
根據(jù)泊松分布，足球比賽的結(jié)果同樣具有分散性。一支足球隊(duì)進(jìn)1或2個(gè)球的可能性最大，其次為不進(jìn)或者進(jìn)3個(gè)，而進(jìn)4或5個(gè)球(或者更多)的幾率則大大下降。于是建模人員會(huì)根據(jù)這支隊(duì)伍之前的表現(xiàn)，通過泊松分布制圖，預(yù)測出它們之后得分的情況。
案例分析
觀眾們就開始預(yù)測結(jié)果并且在體育賽事上投下賭注；而近些年，一種與眾不同的數(shù)據(jù)分析法逐漸雄踞賽事預(yù)測市場。高盛，彭博以及納特·西弗的538(Five Thirty Eight)官網(wǎng)都利用數(shù)據(jù)，來對比賽的結(jié)果做出最為準(zhǔn)確。高盛預(yù)測本土作戰(zhàn)的巴西有的幾率拿下冠軍；538給出的幾率是，而彭博認(rèn)為巴西奪冠的幾率僅僅只有。
參考資料 >
數(shù)學(xué)世界杯：泊松分布預(yù)測巴西世界杯冠軍.新浪網(wǎng).2014-06-17