標準型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利學者卡爾丹于1545年發表的卡爾丹公式法；2、中國學者范盛金于1989年發表的盛金公式法。
兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。
解法
卡丹公式法
1.特殊情況
一元三次方程都可化為x3+px+q=0。它的解是：
其中
根與系數的關系為
判別式為。
當
時，有一個實根和兩個復根；
當
時，有三個實根。
當
時，有一個三重零根。
當
時，三個實根中有兩個相等。
當
時，有三個不等實根。
三個根的三角函數表達式（僅當
時）為
其中。
2.一般情況
一般的一元三次方程可寫成
的形式。上式除以
，并設，則可化為如下形式：
，其中，
。
可用特殊情況的公式解出
，則原方程的三個根為
。
三個根與系數的關系為
。
盛金公式法
三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判別法——盛金判別法。
1.盛金公式
一元三次方程
aX+bX+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）
重根判別式
總判別式
Δ=B－4AC。
當A=B=0時，
盛金公式1：
當Δ=B－4AC>0時，
盛金公式2：
盛金公式2的三角式：
其中，。
當Δ=B－4AC=0時，
盛金公式3：
其中。
當Δ=B－4AC<0時，
盛金公式4：
其中，（A>0，－1 2.盛金判別法 當A=B=0時，方程有一個三重實根。 當Δ=B－4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根。 當Δ=B－4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個二重根。 當Δ=B－4AC<0時，方程有三個不相等的實根。 3.盛金定理 當b=0，c=0時，盛金公式1無意義；當A=0時，盛金公式3無意義；當A≤0時，盛金公式4無意義；當T<－1或T>1時，盛金公式4無意義。 當b=0，c=0時，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答： 盛金定理1：當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式1仍成立）。 盛金定理2：當A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理4：當A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。 盛金定理5：當A<0時，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。 盛金定理6：當Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。 盛金定理8：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式4解題）。 盛金定理9：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現的值必定是-1 顯然，當A≤0時，都有相應的盛金公式解題。 注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當Δ>0時，不一定有A<0。 盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實系數的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。 當一元三次方程的系數是復數時，直接使用卡丹公式求解，有時會出現問題。此時，可使用下面的公式： 當時 當時 當時 當時 一元三次方程 的求根公式是1545年由意大利學者卡爾丹發表在《關于代數的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式（有的數學資料叫“卡丹公式”）。可是事實上，發現公式的人并不是卡爾丹（吉羅拉莫·卡爾達諾）本人，而是尼科洛·塔爾塔利亞（Tartaglia N.，約1499~1557）。 發現此公式后，曾據此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫生兼數學家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的消息后，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當時學者們通常不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰比賽，或等待懸賞應解，以獲取獎金。盡管卡爾丹千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶。可是后來，由于卡丹一再懇切要求，而且發誓對此保守秘密，于是塔塔利亞在1539年把他的發現寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡丹，但是并沒有給出詳細的證明。 卡丹并沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術》一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道：“這一解法來自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。”從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。塔塔利亞知道卡丹把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當時人們的觀念，卡丹的做法無異于背叛，而關于發現法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。于是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。許多資料都記述過尼科洛·塔爾塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發現的；卡丹沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責，卡丹錯有應得，但是卡丹在公布這一解法時并沒有把發現這一方法的功勞歸于自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發現，所以算不上剽竊；而且證明過程是卡丹自己給出的，說明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作對塔塔利亞泄露給他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進程。不過，公式的名稱，還是應該稱為方塔納公式或尼科洛·塔爾塔利亞公式；稱為卡丹公式是歷史的誤會。一元三次方程應有三個根。塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年后，隨著人們對虛數認識的加深，到了1732年，才由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達式。 塔爾塔利亞是意大利人，出生于1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結結巴巴，人們就給他一個綽號“塔爾塔利亞”(在意大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學成才，成了數學家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結果，尼科洛·塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。后來卡丹對塔爾塔利假裝說要推薦他去當西班牙炮兵顧問，并稱自己有許多發明，唯獨無法解三次方程而內心痛苦。還發誓，永遠不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡丹。六年以后，卡丹不顧原來的信約，在他的著作《關于代數的大法》中，將經過改進的三次方程的解法公開發表。后人就把這個方法叫作卡丹公式，尼科洛·塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以后被埋沒了一樣。 塔爾塔利亞對卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對方。最終在一個不明的夜晚，卡丹派人秘密刺殺了塔爾塔利亞。 關于三次、四次方程的求根公式，因為要涉及復數概念，復數是指能寫成如下形式的數 a+bi ，這里 a 和 b 是實數， i 是虛數單位（即 -1 開根）。由米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過讓·達朗貝爾、亞伯拉罕·棣莫弗、萊昂哈德·歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。復數有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是復變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人們在努力尋找一元五次方程求根公式，三百年過去了，但沒有人成功，這些經過嘗試而沒有得到結果的人當中，不乏有大數學家。 后來年輕的挪威數學家阿貝爾于 1824 年所證實， n(n≥5)次方程沒有公式解。不過，對這個問題的研究，其實并沒結束，因為人們發現有些 n(n≥5)次方程可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒有求根公式呢？不久，這一問題在19世紀上半期，被法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦利用他創造的全新的數學方法所證明，由此一門新的數學分支“群論”誕生了。 一元三次方程 系數和根的關系如下： 求出 X,Y ，后有 這是個線性方程，其中 為原方程的三個根。 參考資料 >通用求根公式
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