卡爾達諾公式（英語：Cardano’s Formula），又稱卡當公式、卡爾丹公式，是一般三次代數方程的求根公式。對于一元三次方程，先令，把三次方程轉化為，再用卡爾達諾公式求解簡化后的方程，可以得到三個根為，，，其中，，。
1515年左右，意大利數學家S.del 費羅首先發現了三次方程的解法。1530年，同為意大利數學家的N.尼科洛·塔爾塔利亞發現了方程的解法，并于1535年再次發現了希皮奧內·費羅的解法。1539年，塔塔利亞向吉羅拉莫·卡爾達諾透露了一種三次方程的解。意大利數學家卡爾達諾在其1545年出版的《大術》中首次發表這個公式。?由于他的貢獻，三次方程求解方法被命名為“卡爾達諾公式”。晚清時期，卡爾達諾公式通過譯本《代數術》首次傳入中國。
卡爾達諾公式促使人們開始研究復數，啟發人們研究解決五次及以上方程的求解問題，最終導致群論的創立，使整個代數獲得新的發展。因此，卡爾達諾公式被認為是整個歐洲近代數學崛起的先聲。
公式得名
吉羅拉莫·卡爾達諾1539年從尼科洛·塔爾塔利亞處得到這一類方程的解法，后進行了推廣并第一個找到該法則的數學證明，1545年，方法被首次公開發表。他也是唯一發表這項成果的數學家。由于他的貢獻，三次方程求解方法被命名為“卡爾達諾公式”。
簡史
1494年，意大利數學家帕西奧利對一元三次方程進行過艱辛的探索，得出的結論卻是在當時的數學中，求解一元三次方程，猶如化圓為方的問題一樣，是根本不可能解決的。
1500—1515年間，希皮奧內·費羅得到了這一類缺一次項的一元三次方程的求解公式。但他沒有馬上發表自己的成果。1534年，尼科洛·塔爾塔利亞宣稱得到了形如這類沒有一次項的三次方程的解的方法。1535年，塔塔利亞再次發現了費羅的解法。
1539年，吉羅拉莫·卡爾達諾向塔塔利亞求教三次方程的解法。塔塔利亞向卡爾達諾透露了一種三次方程的解法，并要求卡爾達諾發誓不先發表該解法(根據塔塔利亞的論述)?？栠_諾隨后展開了對三次方程的深入研究。他的學生費拉里幫助其整理手稿，并于1540年首次用一般方法解出了一個四次方程。1541年，尼科洛·塔爾塔利亞完全解決了三次方程求解問題，但他并沒有馬上發表他的成果。1543年，卡爾達諾和費拉里在波倫亞見到了費羅的手稿?？栠_諾認為不必再堅持對塔塔利亞的誓言，決定出版他和費拉里的研究成果。1545年，吉羅拉莫·卡爾達諾在德國紐倫堡出版了一部名為《大術》的著作。在《大術》中，卡爾達諾第一次發表了求解實系數一元三次方程的方法。盡管卡爾達諾在書中三次提及塔塔利亞的相應貢獻，但后者還是非常憤怒，并在其著作《各種問題與發明》(1546)中指責卡爾達諾欺騙并違背了誓言。在1547年至1548年，費拉里和尼科洛·塔爾塔利亞進行了一場數學史上著名的論戰。
1572年，意大利數學家拉法耶爾·蓬貝利在著作《代數學》中，系統總結了代數方程理論．其中指出不可約三次方程有三個實數根，但是在卡爾達諾公式中，這些根被表示為復虛數的兩個三次根之差．邦貝利指出事實上存在明顯的虛數根，并給出虛數的一種表示形式和運算法則，指出虛數根的共軛性，是虛數發展史上的重要里程碑。
至晚清時期，卡爾達諾公式首次通過譯本《代數術》傳入中國。該書由?傅蘭雅口譯、華蘅芳筆述、劉彝程校算?，于1873年在江南機器制造總局出版?！洞鷶敌g》共25卷，包含281款，其英文底本源自《不列顛百科全書》第8版中，由英國數學家華里司撰寫的《代數學》辭條。其中，?卷11“論三次之正雜各方式之解法”?部分，詳細介紹了卡爾達諾公式。
定義
則方程的三個根為
，
，
，
于是原三次方程的根為，。
后人稱這個三次方程求根公式為“卡爾達諾公式”（或稱卡當公式）。
性質
判別式
稱為三次方程的判別式。
如果，則三次方程有一個實根和兩個共軛虛根。
如果，則三次方程有三個是根，其中兩個是相等的。
如果，則三次方程有三個互不相同的實數根。此時，稱為不可約的。
不可約情形
如果，則三次方程叫做不可約三次方程。
用卡爾達諾公式解三次方程的方法中有一個疑難點。對此，吉羅拉莫·卡爾達諾雖然指出了但并未解決。當三次方程的三個根都是實根而且各不相同時，但這三個實根卻不能用代數方法（也就是用根式）得出。這種情形稱之為不可約的。
當三次方程的三個根都是實數根而且各不相同時，按卡爾達諾方法卻得到負數的平方根。
例如方程有三個實數根，即，但利用卡爾達諾公式得到一個根和兩個更加復雜的根。
當三次方程的三個根都是實數根而且各不相同時，按卡爾達諾公式需要計算負數的平方根，得到的解不但沒有簡化，反而更復雜了?？ó斨Z把這種情況稱為不可約情況。
對于不可約的三次方程求解有如下定理：
定理：如果三次方程的判別式，則它的三個根為
，其中
推導
一元三次代數方程的一般形式為，把它的各個根減去，且設。原來的三次方程就可以變換成一個不含有二次項的方程(未知元仍然用表示)即。所以，研究三次方程的解法，只需要研究這種形式的方程。
設，于是，即。根據一元多項式根與系數的關系，可知是二次方程的兩個根，解得
（該式稱為（1）式）和
（該式稱為（2）式），且滿足。設（1）式的任意一個解為，則另外兩個解為，這里是的三次單位根。由（2）式解得相應于的三個解為。于是的三個解可以表示為
，
，。
幾何證明
在《大衍術》第13章中，吉羅拉莫·卡爾達諾給出了三次冪加上常數等于一次項（即:）的方程的解法，并敘述了他的證明。在這里他并沒有直接給出的算術表達式，而是給出了方程與方程的正根之間的關系。兩個方程的解之間的關系是：。
以下就是卡爾達諾對這個結論的證明過程：如圖1：作一邊長為的正方形和一個正方形。令，則有，把分割成兩個矩形和，并且有在圖形上取，使得。
取為與矩形面積相等的正方形的邊，取的中點，然后取點使得，則
，。
下面來證明是方程的根。因為。
根據《幾何原本》第二卷的命題4，比 多
即，因此，
而，
因此，
而，于是
從而滿足方程，因此為方程的解。同理可以證明也是方程的解。
應用
例：求解
解令，原方程轉化為，
此方程中，判別式。
令，由卡爾達諾公式得到
于是得
由得
意義
用卡爾達諾公式求解三次方程時，不可約的情形出現了計算負數開方，這使得復數變得無法回避，開啟了復數研究的新局面；四次方程求解公式隨之得以解決，誘使人們企圖借助類似的方法解決五次及以上方程的求解問題，最終卻導致群論的創立，整個代數獲得新的發展。因此，卡爾達諾公式被認為是整個歐洲近代數學崛起的先聲。現代著名數學家F，克菜因稱它包含了現代數學的萌芽，遠遠超出了古典代數學的框架。
名稱爭議
從整個數學史看，三次方程求解公式，是16世紀數學寶庫中的明珠。但是這樣一項成果卻有些“身世不清”，成為數學史上最有爭議的發現之一。
一種觀點認為，在數學史上，這個公式是意大利數學家塔塔利亞首先得到的，后來被米蘭地區的數學家吉羅拉莫·卡爾達諾騙到了這個解三次方程的公式，并發表在自己的著作里，所以這個公式被稱為卡爾達諾公式。其實，它應該叫塔塔利亞公式。
另一種觀點認為，三次方程求根公式稱為“卡爾達諾公式”名副其實。首先，卡爾達諾第一個給出求解法則的數學證明，這在當時是至關重要的；其次，卡爾達諾第一個給出四項俱全的一般三次方程的求解法則，而希皮奧內·費羅和尼科洛·塔爾塔利亞只解決了一類或幾類缺項的三次方程；第三，卡爾達諾首先系統發表了三次方程求解法則，享有優先權；第四，吉羅拉莫·卡爾達諾第一個注意到三次方程求解的不可約情形，并由此提出虛數問題，這對方程理論研究有重要意義。
另外，也有觀點認為，16世紀尚無通行的代數符號，所謂“公式”都是用語言來敘述的，因此改稱“法則”較好。
相關介紹
四次方程求根
卡爾達諾的學生費拉里沿用他的老師的方法，給出了一元四次方程的求根公式。對于四次方程，兩邊加后配方化為
令上式左端為的形式，展開比較系數，消去，整理得
這是一個關于的三次方程，可以得的一個實根（至少一個)。又因為，所以上述四元方程的根可以由兩個二次方程解得，即。
增乘開方術
一般高次方程的數值解法和理論是中國傳統數學的重要研究領域，代表成就是增乘開方法。該方法由賈憲在11世紀首創，在13世紀中葉就已趨于完善?？栠_諾公式傳入中國后，中國傳統的數學家們一開始是以自己的價值標準衡量它、理解它、研究它，在傳統數學中找到了對應點——開方術。
立方根為三位數的整立方的增乘開立方法的術文是：“（1）實上商置第一位得數。（2）以上商乘下法入廉，乘廉入方，除實訖。（3）復以上商乘下法入廉，乘廉入方。（4）又乘下法入廉。（5）其方一，廉二，下三退。（6）再于第一位商數之次，復商第二位得數，以乘下法入廉，乘廉入方，除實訖。(7）以次商乘下法入廉，乘廉入方。(8）又乘下法入廉。(9）其方一、廉二，下三退，如前。(10）上商第三位得數，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實適盡，得立方一面之數?！?/p>
上面術文中“實”“方”“廉”“下法””“廉”“下法”和《九章算術》“少廣”章劉徽“注”意義相同。“商”是商議所得的立方根的第一位、第二位或第三位數字?！叭搿笔羌尤?。逐步演算時須要隨乘隨加，所以叫做“增乘開方法”。
參考資料 >
MATH 4552 Cubic equations and Cardanos formulae.people.math.osu.edu.2025-06-08
《大術》.中國大百科全書.2025-06-09
《大術》.《大術》.2025-06-23
增乘開方術.中國大百科全書.2025-06-23