華林問題（英語：Waring's problem）是數(shù)論中的一個重要問題。1770年，愛德華·華林猜想，對于每個非1的正整數(shù)k，皆存在正整數(shù)g(k)，使得每個正整數(shù)都可以表示為至多g(k)個k次方數(shù)（即正整數(shù)的k次方）之和。華林問題的研究歷史悠久，涉及多個數(shù)學(xué)分支，包括代數(shù)、組合數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析。中國數(shù)學(xué)家華羅庚在華林問題的研究中有重要貢獻(xiàn)。
與四平方和定理之關(guān)系
在三世紀(jì)時，數(shù)學(xué)家丟番圖首先提出“是否每一個正整數(shù)都是四個平方數(shù)之和”的問題。1730年，長城歐拉開始研究該問題，但未得出證明。1770年，約瑟夫·拉格朗日證明了四平方和定理，指出g(2)=4。
華林猜想
華林在其1770年發(fā)表的《代數(shù)沉思錄》（Meditationes Algebraicae）中提出了華林問題，并猜想每一個正整數(shù)都是可以表示成為至多r個k次冪之和，其中r依賴于k。華林自己推測g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。
研究進(jìn)展
1909年，戴維·希爾伯特首先用復(fù)雜的方法證明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克給出了關(guān)于g(k)存在性的另一個證明。然而，盡管g(k)的存在性已被證明，人們尚且無法知曉g(k)與k之間的關(guān)系。華林自己推測g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。
1770年，約瑟夫·拉格朗日證明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亞瑟·韋伊費列治證明了g(3)=9。
1859年，約瑟夫·劉維爾證明了g(4)≤53，他的想法是借助一個恒等式（Liouville 多項式 identity），后來戈弗雷·哈代和李特爾伍德得到g(4)≤21, 1986年巴拉蘇布拉瑪尼安證明了g(4)=19。1896年馬力特得到g(5)≤192；1909年韋伊費列治將結(jié)果改進(jìn)為g(5)≤59；1964年陳景潤證明了g(5)=37。事實上，萊昂哈德·歐拉之子J.A.歐拉猜想至1990年，對于6
問題
由于g(k)的值嚴(yán)重依賴于正整數(shù)較小時的情況，人們提出了一個更強(qiáng)的問題，求對于每個充分大的正整數(shù)，可使它們分解為k次方數(shù)的個數(shù)G(k)。此問題進(jìn)展較慢，至今G(3)仍無法確定。
華林-哥德巴赫問題
陳述：對于任何一個正整數(shù)n，是否存在一個數(shù)k，使得每個充分大的整數(shù)都可以表示為k個質(zhì)數(shù)的n次冪的和，此問題在1938年已被華羅庚證明成立。
表法數(shù)問題
任給一個正整數(shù)都是可以表為四個平方數(shù)之和。卡爾·雅可比給出了表示成為四個平方數(shù)的不同表示法的解答。但是，對于立方和，四次方和等等的情況，仍然非常困難。
不限于正整數(shù)
考慮用有理數(shù)的方冪和來表示正有理數(shù)。這是華林問題的另一種推廣，涉及到更廣泛的數(shù)域。
參考資料 >