反證法是間接論證的方法之一。亦稱“逆證”。是通過(guò)斷定與論題相矛盾的判斷（即反論題）的虛假來(lái)確立論題的真實(shí)性的論證方法。反證法的論證過(guò)程如下：首先提出論題：然后設(shè)定反論題，并依據(jù)推理規(guī)則進(jìn)行推演，證明反論題的虛假；最后根據(jù)排中律，既然反論題為假，原論題便是真的。在進(jìn)行反證中，只有與論題相矛盾的判斷才能作為反論題，論題的反對(duì)判斷是不能作為反論題的，因?yàn)榫哂蟹磳?duì)關(guān)系的兩個(gè)判斷可以同時(shí)為假。反證法中的重要環(huán)節(jié)是確定反論題的虛假，常常要使用歸謬法。反證法是一種有效的解釋方法，特別是在進(jìn)行正面的直接論證或反駁比較困難時(shí)，用反證法會(huì)收到更好的效果。
定義
反證法常稱作Reductio ad absurdum，是拉丁語(yǔ)中的“轉(zhuǎn)化為不可能”，源自希臘語(yǔ)中的“? ει? το αδυνατον παγωγη”，阿基米德經(jīng)常使用它。
反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，經(jīng)過(guò)推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題。法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬（Hadamard）對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。
在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。
反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂"正難則反"。
艾薩克·牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇?lái)講，反證法常用來(lái)證明正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，問(wèn)題可能解決得十分干脆。
反證法的證題可以簡(jiǎn)要的概括為“否定得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是：
欲證“若P，則Q”為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出與事實(shí)、定理、已知條件、基本事實(shí)等矛盾，從而原命題為真命題。
原理
反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。
實(shí)際的操作過(guò)程還用到了另一個(gè)原理，即：
原命題和原命題的否定是對(duì)立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。
若原命題：為真
先對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定，即寫(xiě)出原命題的否定：p且?q。
從結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾，即命題：p且?q 為假（即存在矛盾）。
從而該命題的否定為真。
再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p?q為真。
誤區(qū)：
否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念。
命題的否定只針對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定。而否命題同時(shí)否定條件和結(jié)論：
原命題：p?q；
否命題：?p??q；
逆否命題：?q??p；
命題的否定：p且?q。
原命題與否命題的真假性沒(méi)有必然聯(lián)系，但原命題和原命題的否定卻是對(duì)立的存在，一個(gè)為真另一個(gè)必然為假。
證明步驟
反證法的證明主要用到“一個(gè)命題與其逆否命題同真假”的結(jié)論，為什么？這個(gè)結(jié)論可以用窮舉法證明：
已知某命題：若A，則B，則此命題有4種情況：
1.當(dāng)A為真，B為真，則A?B為真，得?B??A為真；
2.當(dāng)A為真，B為假，則A?B為假，得?B??A為假；
3.當(dāng)A為假，B為真，則A?B為真，得?B??A為真；
4.當(dāng)A為假，B為假，則A?B為真，得?B??A為真；
∴一個(gè)命題與其逆否命題同真假。
即反證法是正確的。
假設(shè)?B，推出?A，就說(shuō)明逆否命題是真的，那么原命題也是真的。
但實(shí)際推證的過(guò)程中，推出?A是相當(dāng)困難的，所以就轉(zhuǎn)化為了推出與?A相同效果的內(nèi)容即可。這個(gè)相同效果就是與A（已知條件）矛盾，或是與已知定義、定理、大家都知道的事實(shí)等矛盾。
注：關(guān)于相等與不等關(guān)系（>、=、<），我們有如下的否定形式：
大于反義：小于或等于
都大于 反義：至少有一個(gè)不大于
小于 反義：大于或等于
都小于 反義：至少有一個(gè)不小于它的逆否命題“若?B，則?A”。
適用命題
只能用反證法證明的命題，有以下幾類：
2. 很多已知當(dāng)中只有兩個(gè)元的問(wèn)題。
由于條件有限，基本上也只能采用反證法。這類問(wèn)題通常是一個(gè)公理體系里只有A、B兩項(xiàng)，由已知命題推未知命題的真假。
3. 對(duì)許多直接建立在定義和公理之上的一級(jí)定理
由于這些定理可使用的證明條件太少，只能用反證法才能證明。而建立在定義、公理與一級(jí)定理之上的二級(jí)定理，以及在邏輯鏈中更靠后的三級(jí)定理、四級(jí)定理等等，由于已被證明的定理數(shù)目越來(lái)越多，因此對(duì)于邏輯鏈中更靠后的定理，有更多的證明條件可以使用，常常不必使用反證法就可以得證。而公理本身是不證自明的，它們是數(shù)學(xué)邏輯體系的起點(diǎn)（基石），這已經(jīng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的底線了。如果你不接受它們，你認(rèn)同的所有數(shù)學(xué)命題都不成立。
4.證明一個(gè)集合有無(wú)窮多個(gè)元素
① 用反證法。即證明如果它是有限的，則會(huì)存在矛盾；
② 與另外一個(gè)無(wú)窮集合建立映射，這時(shí)加進(jìn)來(lái)的已知無(wú)窮集合作為引理出現(xiàn)。
證明質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，歐幾里得的證明就是反證法。
再如，證明不存在最大的自然數(shù)。如果從正面去證明的話，相當(dāng)于列舉自然數(shù)，然而我們?cè)谟邢薜牟襟E中完成，因此直接證法行不通。于是，利用排中律轉(zhuǎn)化為：對(duì)于所有自然數(shù)n，存在一個(gè)自然數(shù)m，使得m>n。這幾乎是顯然的。
總之，只要承認(rèn)證明過(guò)程中只能在有限的步驟中完成，那么關(guān)于無(wú)窮的問(wèn)題，我們也只能利用排中律轉(zhuǎn)化為有窮來(lái)證明。
依據(jù)
反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“無(wú)矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。
反證法在其證明過(guò)程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。
使用方法
運(yùn)用反證法證明命題的第一步是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設(shè)，這是正確運(yùn)用反證法的基礎(chǔ)、前提，正確作出反設(shè)，是使用反證法的一大關(guān)鍵否則，如果錯(cuò)誤地“否定結(jié)論”，即使推理、論證再好也都會(huì)前功盡棄。要想正確的做出反設(shè)，必須注意以下幾點(diǎn)：
（1）分清命題的條件與結(jié)論，結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系。
（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形，則需反設(shè)后，分別就各種情況歸謬，做到無(wú)一遺漏。
總之，在否定命題的結(jié)論之前，首先要弄清命題的結(jié)論是什么，當(dāng)命題的結(jié)論的反面非常明顯并且只有一種情形時(shí)是比較容易做出否定的，但命題的結(jié)論的反面是多種情形或者比較隱晦時(shí)，就不太容易做出否定。這時(shí)必須認(rèn)真分析、仔細(xì)推敲，在提出“假設(shè)”后，再回過(guò)頭來(lái)看看“假設(shè)”的對(duì)立面是否恰是命題的結(jié)論。
范例
證明：素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。
這個(gè)古老的命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid Alexandra，生活在亞歷山大城，約前330～約前275），是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家)在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個(gè)反證法：
假設(shè)命題不真，則只有有限多個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)所有的素?cái)?shù)是
此時(shí)，令, 那么所有的 顯然都不是N的因子，那么有兩個(gè)可能：或者N有另外的素?cái)?shù)真因子，或者N本身就是一個(gè)素?cái)?shù)，但是顯然有N> .無(wú)論是哪種情況，都將和假設(shè)矛盾。這個(gè)矛盾就完成了我們的證明，所以確實(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)素?cái)?shù)！
參考資料 >