泊松過程是一類較為簡單的時間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過程，泊松過程在物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文學(xué)、服務(wù)系統(tǒng)和可靠性理論等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。
簡介
一種累計隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的最基本的獨(dú)立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換臺收到的呼喚次數(shù)，就構(gòu)成一個泊松過程。用數(shù)學(xué)語言說，滿足下列三條件的隨機(jī)過程叫做泊松過程。①。②不相交區(qū)間上增量相互獨(dú)立，即對一切相互獨(dú)立。③增量的概率分布為泊松分布,即，式中為非降非負(fù)函數(shù)。若X還滿足④的分布僅依賴于t-s，則稱X為齊次泊松過程；這時，式中常數(shù)稱為過程的強(qiáng)度，因為λ等于單位時間內(nèi)事件的平均發(fā)生次數(shù)。非齊次泊松過程可通過時間尺度的變換變?yōu)辇R次泊松過程。對泊松過程，通常可取它的每個樣本函數(shù)都是躍度為1的左(或右)連續(xù)階梯函數(shù)。可以證明，樣本函數(shù)具有這一性質(zhì)的、隨機(jī)連續(xù)的獨(dú)立增量過程必是泊松過程，因而泊松過程是描寫隨機(jī)事件累計發(fā)生次數(shù)的基本數(shù)學(xué)模型之一。直觀上，只要隨機(jī)事件在不相交時間區(qū)間是獨(dú)立發(fā)生的，而且在充分小的區(qū)間上最多只發(fā)生一次，它們的累計次數(shù)就是一個泊松過程。在應(yīng)用中很多場合都近似地滿足這些條件。例如某系統(tǒng)在時段內(nèi)產(chǎn)生故障的次數(shù)，一真空管在加熱t(yī)秒后陰極發(fā)射的電子總數(shù)，都可假定為泊松過程。1943年C.帕爾姆在電話業(yè)務(wù)問題的研究中運(yùn)用了這一過程，后來Α.Я.亞歷山大·辛欽于50年代在服務(wù)系統(tǒng)的研究中又進(jìn)一步發(fā)展了它。
齊次泊松過程的特征? 描述隨機(jī)事件累計發(fā)生次數(shù)的過程通常稱為計數(shù)過程（見點(diǎn)過程）。一個簡單而且局部有限的計數(shù)過程，往往也可以用它依次發(fā)生跳躍(即發(fā)生隨機(jī)事件)的時刻來規(guī)定，即取而當(dāng)時，。若以，表示X(t)發(fā)生相鄰兩次跳躍的時間間距，則計數(shù)過程是齊次泊松過程的充分必要條件為是相互獨(dú)立同分布的，且，其中λ為某一非負(fù)常數(shù)。齊次泊松過程的另一個特征是：固定t,X(t)是參數(shù)為λt的泊松分布隨機(jī)變量，而當(dāng)已知的條件下,X的k個跳躍時刻與 k個在上均勻分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的次序統(tǒng)計量（見統(tǒng)計量）有相同的分布。泊松過程的這一特征常作為構(gòu)造多指標(biāo)泊松過程的出發(fā)點(diǎn)。從馬爾可夫過程來看，齊次泊松過程是時間空間都為齊次的純生馬爾可夫鏈。從鞅來看，齊次泊松過程X是使為鞅的躍度為1的計數(shù)過程。
泊松過程的推廣? 較泊松過程稍為廣泛的計數(shù)過程是更新過程，更新過程的跳躍時間間距是相互獨(dú)立同分布的，但不一定是指數(shù)分布。這類過程常被用來描寫某些設(shè)備的累計故障次數(shù)。若對跳躍時間間距不作任何假定，就成為一般的計數(shù)過程或稱一維點(diǎn)過程。假如某設(shè)備在時段內(nèi)故障的累計次數(shù)N(t)是泊松過程，而每次故障造成的耗損不盡相同，用隨機(jī)變量Yi表示第i次耗損，則在內(nèi)總的耗損為。當(dāng)為齊次泊松過程，又是相互獨(dú)立同分布且與獨(dú)立時,稱為復(fù)合泊松過程。由于可以用其跳躍時刻來規(guī)定,因而復(fù)合泊松過程可用來規(guī)定，即。若對的統(tǒng)計特性不作任何假定，這樣規(guī)定的X 便是一種一般地描述系統(tǒng)跳躍變化的隨機(jī)過程，常稱為標(biāo)值點(diǎn)過程，也稱多變點(diǎn)過程或跳躍過程。
泊松過程除作為計數(shù)過程的一種重要數(shù)學(xué)模型外，又是眾多重要隨機(jī)過程的特例。獨(dú)立增量過程的萊維伊藤分解表明，利用它還可構(gòu)成一般的獨(dú)立增量過程，因而它在隨機(jī)過程中占有特殊地位，也有人把它與布朗運(yùn)動一起稱之為隨機(jī)過程的基石。
參考書目
E. Parzen,Stochastic Processes,Holden-Day,lnc., San Francisco, Calif., 1962.
D.L.斯奈德著，梁之舜、鄧永錄譯:《隨機(jī)點(diǎn)過程》，人民教育出版社，北京市，1982。(迪朗奇Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.)
伊藤清著，劉璋溫譯：《隨機(jī)過程》，上海市科學(xué)技術(shù)出版社，上海，1962。（伊藤清著：《確率？波書店，東京,1958。）
參考資料 >