在數學中，函數與自變量的函數關系是由一個含和的方程所確定的，即與的關系隱含在方程中，稱這種由未解出因變量的方程所確定的與之間的函數關系為隱函數。
隱函數存在定理為：設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且，則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數滿足條件，并有。
定義
隱函數是由隱式方程所隱含定義的函數。設是某個定義域上的函數。如果存在定義域上的子集，使得對每個屬于，存在相應的滿足，則稱方程確定了一個隱函數。記為。顯函數是用來表示的函數，顯函數是相對于隱函數來說的。
求導法則
對于一個已經確定存在且可導的情況下，我們可以用復合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對進行求導，由于其實是的一個函數，所以可以直接得到帶有 的一個方程，然后化簡得到 的表達式。
隱函數導數的求解一般可以采用以下方法：
方法①：先把隱函數轉化成顯函數，再利用顯函數求導的方法求導；
方法②：隱函數左右兩邊對求導（但要注意把看作的函數）；
方法③：利用一階微分形式不變的性質分別對和求導，再通過移項求得的值；
方法④：把n元隱函數看作()元函數，通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。
舉個例子，若欲求的導數，那么可以將原隱函數通過移項化為的形式，然后通過（式中分別表示和對的偏導數）來求解。
推理過程
一個函數，隱含在給定的方程 中，作為這方程的一個解（函數）。
例如如果不限定函數連續，則式中正負號可以隨x而變，因而有無窮個解；如果限定連續，則只有兩個解（一個恒取正號，一個恒取負號）；如果限定可微，則要排除，因而函數的定義域應是開區間，但仍然有兩個解；如果還限定在適合原方程的一個點的鄰近范圍內，則只有一個惟一的解（當起點在上半平面時取正號，在下半平面時取負號）。
微分學中主要考慮函數與都連續可微的情形。
可見，即使在隱函數難于解出的情形，也能夠直接算出它的導數，唯一的條件是
隱函數理論的基本問題就是：在適合原方程(1)的一個點的鄰近范圍內，在函數連續可微的前提下，什么樣的附加條件能使得原方程(1)確定一個惟一的函數，不僅單值連續，而且連續可微，其導數由(2)完全確定。隱函數存在定理就用于斷定(3)就是這樣的一個條件，不僅必要，而且充分。
示例
設方程確定是的函數，并且可導。如今可以利用復合函數求導公式求出隱函數對的導數。
例1 方程 確定了一個以為自變量，以為因變量的數，為了求對的偏導數，將上式兩邊逐項對求導，并將看作的復合函數，則有：
即 于是得 從上例可以看到，在等式兩邊逐項對自變量求導數，即可得到一個包含的一次方程，解出即為隱函數的導數。
解：將方程兩邊同時對求導，得：
解出即得
例3 求由方程所確定的隱函數的導數。
解：將方程兩邊同時對求導，得
解出即得。
參考資料 >