來源：互聯網
單環是環論中的一個基本概念，指的是一個環，除了零理想和自身沒有其他雙邊理想。在交換環的情況下，單環等同于域。單環的中心是一個域，因此單環也是該中心域上的結合代數。有時，單環還要求是左阿廷環或右阿廷環，即半單環。在這種情況下，沒有非平凡雙邊理想的非無零因子環被稱為準單環。
定義與性質
弱單環（弱單代數）可分為兩類：一類是R≠0，此類環（代數）稱為單環（單代數），它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身。單環的一個重要特征是其中心必須是一個域，這使得單環成為該域上的一個結合代數。單代數和單環在概念上是相同的，因為它們都是在其中心域上的代數結構。
例子
中心單代數（有時稱為理查德·布饒爾代數）是一個域F上的有限維度單代數，且該域的中心為F。例如，實數域R、復數域C和四元數域H上的所有有限維度單代數都與它們自身或其上的矩陣環同構。這些結果由弗羅貝尼烏斯定理得出。有限域上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
理想結構
單環存在在自身上不是單模的情況，即單環可以有非平凡的左理想和/或右理想。例如，域上的全矩陣環沒有非平凡的雙邊理想，但卻有非平凡的左理想。這些左理想可以通過固定列為零的矩陣組成的集合來構造。
參考資料 >