弗羅貝尼烏斯定理指出(C1光滑的情況): U為Rn的開集，F(xiàn)是Ω1(U)的常數(shù)階r階的子模。則F可積當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)p ∈ U莖(stalk)Fp由r個(gè)恰當(dāng)微分形式給出。幾何上來看，它說每個(gè)1-形式的r階可積模和一個(gè)余維為r的層相同
弗羅貝尼烏斯定理
弗羅貝尼烏斯定理指出（C1光滑的情況）：
U為Rn的開集，F(xiàn)是Ω1(U)的常數(shù)階r階的子模。則F可積當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)p ∈ U莖(stalk)Fp由r個(gè)恰當(dāng)微分形式給出。
幾何上來看，它說每個(gè)1-形式的r階可積模和一個(gè)余維為r的層相同。這是研究向量場(chǎng)和層理論的基本工具之一。
推廣
這個(gè)結(jié)論在解析1-形式和和樂情況下也成立，但要把R換成C。它可以推廣到高階的微分形式，在有些條件下，也可以推廣到有奇點(diǎn)的情況。
也有用向量場(chǎng)表達(dá)的定理。存在和如下向量場(chǎng)相切的V的子流形的充分條件
X1, X2, ..., Xr,
可以表達(dá)為任意兩個(gè)場(chǎng)的李括號(hào)
[Xi,Xj]
包含在這些場(chǎng)撐成的空間中。因?yàn)槔罾ㄌ?hào)可在子空間上取，這個(gè)條件也是必要的。定理的這兩種表述是因?yàn)槔罾ㄌ?hào)和外微分是相關(guān)的。
上面最后這個(gè)表述可以用來表明向量場(chǎng)在流形上的可積性。定理的這個(gè)變種表明流形M上的任何光滑向量場(chǎng)X可以積分，得到一個(gè)單參數(shù)族的曲線。這個(gè)可積性是因?yàn)槎x曲線的方程是一階常微分方程，所以可積性有Picard-Lindel?f定理保證。
參考資料 >