布里淵區(qū)（Brillouin zone） ，在數(shù)學(xué)和固體物理學(xué)中，第一布里淵區(qū)是動(dòng)量空間中晶體倒易點(diǎn)陣的阿爾弗雷德·魏格納塞茲原胞（Wigner-Seitz cell）。
介紹
波矢空間
固體的能帶理論中，各種電子態(tài)按照它們的波矢分類(lèi)。在波矢空間中取某一倒易陣點(diǎn)為原點(diǎn)，作所有倒易點(diǎn)陣矢量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為一系列的區(qū)域：其中最靠近原點(diǎn)的一組面所圍的閉合區(qū)稱(chēng)為第一布里淵區(qū)；在第一布里淵區(qū)之外，由另一組平面所包圍的波矢區(qū)叫第二布里淵區(qū)；依次類(lèi)推可得第三、四、…等布里淵區(qū)。各布里淵區(qū)體積相等，都等于倒易點(diǎn)陣的元胞體積。周期結(jié)構(gòu)中的一切波在布里淵區(qū)界面上產(chǎn)生布拉格反射，對(duì)于電子物質(zhì)波,這一反射可能使電子能量在布里淵區(qū)界面上（即倒易點(diǎn)陣矢量的中垂面）產(chǎn)生不連續(xù)變化。根據(jù)這一特點(diǎn),1930年L.-N.路易·布里淵首先提出用倒易點(diǎn)陣矢量的中垂面來(lái)劃分波矢空間的區(qū)域，從此被稱(chēng)為布里淵區(qū)。
第一區(qū)
第一布里淵區(qū)就是倒易點(diǎn)陣的尤金·維格納賽茨元胞，如果對(duì)每一倒易點(diǎn)陣作此元胞，它們會(huì)毫無(wú)縫隙的填滿(mǎn)整個(gè)波矢空間。由于完整晶體中運(yùn)動(dòng)的電子、聲子、磁振子、……等元激發(fā)（見(jiàn)固體中的元激發(fā)）的能量和狀態(tài)都是倒易點(diǎn)陣的周期函數(shù)，因此只需要用第一布里淵區(qū)中的波矢來(lái)描述能帶電子、點(diǎn)陣振動(dòng)和自旋波……的狀態(tài)，并確定它們的能量（頻率）和波矢關(guān)系。限于第一布里淵區(qū)的波矢稱(chēng)為簡(jiǎn)約波矢，而第一布里淵區(qū)又叫簡(jiǎn)約區(qū)，在文獻(xiàn)中不加定語(yǔ)的布里淵區(qū)指的往往就是它。
布喇菲點(diǎn)陣
布里淵區(qū)的形狀取決于晶體所屬奧古斯特·布拉菲點(diǎn)陣的類(lèi)型。簡(jiǎn)單立方、體心立方和立方晶系點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約區(qū)分別為立方體，菱十二面體和截角八面體（十四面體）。它們都是對(duì)稱(chēng)的多面體，并具有相應(yīng)點(diǎn)陣的點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性，這一特征使簡(jiǎn)約區(qū)中高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的能量求解得以簡(jiǎn)化（見(jiàn)晶體的對(duì)稱(chēng)性）。
簡(jiǎn)約
簡(jiǎn)約布里淵區(qū)（Reduced Brillouin zone）：
由于晶體中的格波或者電子波的色散關(guān)系在波矢空間是周期為π/a的周期性函數(shù)（例如，E(k) = E(k+π/a)，則k和k+π/a表示相同的狀態(tài)；因此可把波矢限制在第一Brillouin區(qū)(－π/a < q < π/a ) 內(nèi)，而將其他區(qū)域通過(guò)移動(dòng)n/a而合并到第一Brilouin區(qū)；在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí), 只需要討論第一Brilouin區(qū)就夠了。這時(shí)的第一Brillouin區(qū)也就稱(chēng)為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。
簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中的一個(gè)波矢可能對(duì)應(yīng)有幾個(gè)不同的能量狀態(tài)。該區(qū)域內(nèi)的波矢即稱(chēng)為簡(jiǎn)約波矢。簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的形狀因晶體結(jié)構(gòu)而異；實(shí)際上可由晶格的倒格子的Wigner-Seitz原胞給出。金剛石結(jié)構(gòu)的Si、Ge和閃鋅礦結(jié)構(gòu)的Ⅲ-Ⅴ族半導(dǎo)體等, 都具有立方晶系Bravais格子, 因此都具有體心立方的倒格子, 從而也都具有相同形狀的第一Brilouin區(qū), 為截角八面體(即是由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形構(gòu)成的14面體)。
k點(diǎn)采樣研究
簡(jiǎn)介
在各種周期性邊界條件的第一原理計(jì)算方法中，需要涉及到在布里淵區(qū)的積分問(wèn)題，例如總能、電荷密度分布，以及金屬體系中費(fèi)米面的確定等等。如果采用普通的在路易·布里淵區(qū)內(nèi)均勻選取k點(diǎn)的方法，那么為了得到精確的結(jié)果點(diǎn)的密度必須很大，從而導(dǎo)致非常大的計(jì)算量。這使得計(jì)算的效率非常低下。因此，需要尋找一種高效的積分方法，可以通過(guò)較少的點(diǎn)運(yùn)算取得較高的精度。而這些k點(diǎn)被稱(chēng)之為“平均值點(diǎn)”（Baldereschi）或者“特殊點(diǎn)”（Chadi, Cohen）。
基本思想
1、Chadi和Cohen最早提出了這種特殊點(diǎn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[1]。
2、考慮一個(gè)光滑函數(shù)，我們可以將其展為傅立葉級(jí)數(shù)：假設(shè)另有一個(gè)擁有體系全部對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)性用對(duì)稱(chēng)群表示）的函數(shù)，滿(mǎn)足條件，則 我們可以將用展開(kāi)如下：其中是對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)。設(shè)，將上式的求和順序重新組合可以得到其中是距離原點(diǎn)第近鄰的球半徑，按升序排列，且。需要注意的是限制條件 具有球?qū)ΨQ(chēng)性，也即高于的對(duì)稱(chēng)性，所以滿(mǎn)足限制條件的格點(diǎn)集合并不一定都是等價(jià)的——或說(shuō)可以通過(guò)中的操作聯(lián)系起來(lái)的——格點(diǎn)。方程(3)中的函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：上式中是倒格矢，是滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)數(shù)。五個(gè)方程分別表明函數(shù)在第一路易·布里淵區(qū)內(nèi)成函數(shù)奇偶性、具有正交性、周期性、體系對(duì)稱(chēng)性和完備性。對(duì)于特殊點(diǎn)法而言，前兩條更為重要。注意到上面公式中的求和從1開(kāi)始，因此需要對(duì)的情況進(jìn)行單獨(dú)定義。
3、我們定義，則函數(shù)的平均值為：那么該如何得到呢？注意方程(3)，如果存在這樣的特殊點(diǎn)，使其滿(mǎn)足：>那么立刻可以得到，這樣的點(diǎn)被稱(chēng)為“平均值點(diǎn)”。但是普遍的講，滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)并不存在。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決辦法就是不用單個(gè)點(diǎn)，而采用滿(mǎn)足一定條件的k點(diǎn)的集合，利用這些點(diǎn)上函數(shù)值的加權(quán)平均計(jì)算。也即：其中可以取有限值。
4、利用方程(3)左右端的兩個(gè)式子，可以得到：根據(jù)方程(7)，可以得到考慮到隨的增大迅速減小的性質(zhì)，我們可以近似的得到的平均值：而將方程(9)的第二項(xiàng)作為可控誤差。因此，如果我們可以找到一組點(diǎn)，使得(1)集合中的點(diǎn)盡量少；(2)這些點(diǎn)在盡量大的情況下滿(mǎn)足方程(7)，則我們進(jìn)行布里淵區(qū)積分的時(shí)候可以盡可能快的得到精度較高的結(jié)果。這正是特殊點(diǎn)方法的要點(diǎn)所在。反過(guò)來(lái)講，這也表明進(jìn)行具體計(jì)算的時(shí)候我們需要對(duì)計(jì)算精度進(jìn)行測(cè)試，也即保證所取點(diǎn)使得上式的第二項(xiàng)足夠小。
5、Chadi-Cohen方法上一節(jié)證明了點(diǎn)的可行性。Chadi和Cohen首先提出了一套可以得出這些特殊點(diǎn)的方法。
首先找出兩個(gè)特殊點(diǎn)——，二者分別在和的情況下滿(mǎn)足然后通過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)造新的點(diǎn)集合：且權(quán)重為。下面證明在的情況下仍然滿(mǎn)足方程(7)：根據(jù)和的定義，可知對(duì)于和，也即上式等價(jià)于因此可以用這種方法產(chǎn)生一系列點(diǎn)，用以計(jì)算布里淵區(qū)內(nèi)的積分。如果此時(shí)的精度不夠，則利用同樣的方法繼續(xù)生成新的點(diǎn)集合：其中為在情況下滿(mǎn)足的特殊點(diǎn)。從而改進(jìn)精度。
6、事實(shí)上，如果考慮體系的對(duì)稱(chēng)性，則中的點(diǎn)數(shù)目可以極大的減小。也就是說(shuō)，對(duì)于給定的點(diǎn)，可以找出其波矢群，階數(shù)為，那么實(shí)際上按上述方法構(gòu)造出來(lái)的只有個(gè)不同的點(diǎn)，此時(shí)各點(diǎn)上的權(quán)重為。更進(jìn)一步，通過(guò)點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)操作，可以將全部的點(diǎn)轉(zhuǎn)入第一布里淵區(qū)的不可約部分。如果點(diǎn)的重疊度（即第一布里淵區(qū)不可約部分中占有同樣位置的點(diǎn)個(gè)數(shù)）是，則在最后的計(jì)算中，這個(gè)點(diǎn)的權(quán)重為
方法
上述Chadi-Cohen方法非常巧妙，但是在具體的應(yīng)用上必須首先確定23個(gè)性能比較好的點(diǎn)，由此構(gòu)建出的點(diǎn)集合才擁有比較高的效率和精度。因此，對(duì)于每一個(gè)具體問(wèn)題，在計(jì)算之前都必須經(jīng)過(guò)相當(dāng)?shù)膶?duì)稱(chēng)性上的分析。對(duì)于編寫(xiě)程序而言，這是一件很麻煩的事情。那么，是否存在一種比較簡(jiǎn)易的產(chǎn)生點(diǎn)網(wǎng)格的方法，同時(shí)又滿(mǎn)足方程(7)呢？答案是肯定的，這就是通常所說(shuō)的Monkhorst和Pack方法。
晶體中的格點(diǎn)總可以表述為，其中是實(shí)空間三個(gè)方向上的基矢。Monkhorst和Pack建議按如下方法劃分布里淵區(qū)
分量形式
將點(diǎn)寫(xiě)為分量形式，則可得到如下表達(dá)式
其中是倒空間的基矢。與Chadi-Cohen方法相似，Monkhorst和Pack定義函數(shù)為：
>
則相應(yīng)于Chadi-Cohen方法中的，我們可以計(jì)算在如方程(12)所生成的離散化的網(wǎng)格點(diǎn)的相同的量：
其中
注意到都是整數(shù)，因此可以算出：
其中第三種情況是因?yàn)槭?a href="/hebeideji/7237655077108121632.html">函數(shù)奇偶性。引入限制條件： <; < 則可得：
也即在點(diǎn)網(wǎng)格上是正交的。與Chadi-Cohen方法類(lèi)似，將函數(shù)用展開(kāi)：
同時(shí)左乘并在布里淵區(qū)內(nèi)積分，可得
因?yàn)椋詮?a href="/hebeideji/2293567924838015583.html">方程(19)可得
忽略前面的常數(shù)因子，可以看到Monkhorst-Pack方法中的表達(dá)式與Chadi-Cohen方法完全一樣。現(xiàn)在將的表達(dá)式代入上述方程，則
因此
其中
與我們?cè)贑hadi-Cohen方法中看到的一樣，在第一布里淵區(qū)的平均值可以用近似（在Chadi-Cohen方法中是）。而且誤差（方程右邊第二項(xiàng)）可控，即可以通過(guò)增加點(diǎn)密度的方法提高精度。這是因?yàn)樵龃螅鶕?jù)上面所述的取值可知，在更大的時(shí)候仍能保證方程(7)成立。
但是根據(jù)方程(3)可得
如果值取得比較大，那么所需計(jì)算的點(diǎn)數(shù)目就會(huì)非常大，如何提高M(jìn)onkhorst-Pack方法的效率呢？考慮到體系的對(duì)稱(chēng)性，則點(diǎn)的數(shù)目會(huì)大大的減少。重新寫(xiě)出如下：
其中是體系所屬點(diǎn)群階數(shù)與點(diǎn)的波矢群階數(shù)的比值：。是對(duì)所有點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱(chēng)及平移操作后第一布里淵區(qū)中所有不重合的點(diǎn)數(shù)。進(jìn)一步考慮不可約部分，那么通過(guò)改變（變?yōu)椋渲卸x見(jiàn)上節(jié)）可以進(jìn)一步減少。因?yàn)樘幱诟邔?duì)稱(chēng)位置上的點(diǎn)其波矢群階數(shù)也比較高，因此相應(yīng)的這些高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的權(quán)重就比較小。這也是為什么在VASP的OUTCAR文件中高對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)權(quán)重比較小的理論根本，也是特殊點(diǎn)法盡量避開(kāi)高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的原因所在。與Chadi-Cohen方法一樣，的大小是Monkhorst-Pack方法效率高低的重要標(biāo)志。文獻(xiàn)中給出了bcc以及fcc兩種格子中的：
BCC:
可以看出，即使對(duì)于較大的值，也是比較小的，因此Monkhorst-Pack方法效率是比較高的。
應(yīng)該注意的是，Monkhorst-Pack方法的關(guān)鍵一點(diǎn)是將三維空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的一維問(wèn)題。因此，對(duì)于六角格子或者單斜晶系格子，基矢之間不正交，上述Monkhorst-Pack方法并不適用，而必須加以修改。以六角格子為例，Pack指出點(diǎn)網(wǎng)格應(yīng)按下述方法生成：
也即軸和軸分別設(shè)置。相應(yīng)的，的大小可計(jì)算如下：
上述生成點(diǎn)的方法對(duì)應(yīng)于VASP手冊(cè)中對(duì)于點(diǎn)設(shè)置的建議“對(duì)于六方體系應(yīng)該將點(diǎn)置于原點(diǎn)處”。
需要強(qiáng)調(diào)的是，我們?cè)谝陨纤懻摰乃袑?duì)稱(chēng)性均指純旋轉(zhuǎn)操作，也即點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性。因此，對(duì)于同屬一種晶系而屬于不同空間群的兩種體系而言，其操作可能并不一致。
實(shí)例
Cunningham對(duì)于二維情況依照Chadi-Cohen方法分別生成了點(diǎn)集合。我們選擇四方格子和正方格子兩種情況進(jìn)行具體的分析。
四方格子
實(shí)空間和倒空間的基矢及格點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
選擇（或?yàn)?a href="/hebeideji/2362118803749784201.html">奇數(shù)時(shí)）以及（或?yàn)槠鏀?shù)時(shí)）這個(gè)格子的對(duì)稱(chēng)操作為，按照Chadi-Cohen方法，可以構(gòu)建點(diǎn)如下：
每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重。
正方格子
將上例中的，則四方格子轉(zhuǎn)變?yōu)檎礁褡印煞N情況最主要的不同是布里淵區(qū)不可約部分有了變化，從上式可以看出，在正方格子下，,和重合。因此只有三個(gè)不同的點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重為，而且。
利用特殊點(diǎn)計(jì)算電荷密度
將Bloch函數(shù)用Wannier函數(shù)展開(kāi)，有：
則在給定點(diǎn)的電荷密度為：
而
我們重寫(xiě)如下：
其中求和號(hào)中的表明而且。因此，考慮到對(duì)稱(chēng)性，又可寫(xiě)為：
上式中，第一項(xiàng)與和無(wú)關(guān)，相當(dāng)于Chadi-Cohen方法中的。而第二項(xiàng)中因?yàn)閷?duì)所有的求和，因此可以將這一項(xiàng)寫(xiě)為如下形式：
上式中與無(wú)關(guān)，且隨增大而遞減，相當(dāng)于。因此可寫(xiě)為
如果存在，滿(mǎn)足，則立即可以得到
但是普遍的講，這樣的并不存在。例如，在四大洲花樣滑冰錦標(biāo)賽格子中考慮第一、二、三近鄰，寫(xiě)出：
不存在單獨(dú)的點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)方程。因此，需要尋找一系列特殊的點(diǎn)，滿(mǎn)足
則。
Chadi和Cohen采用、和三個(gè)點(diǎn)計(jì)算的值：，取得了較好的結(jié)果。而在文獻(xiàn)1中，他們利用和改進(jìn)了計(jì)算結(jié)果：。
參考資料 >