內切圓（英文：Inscribed circle），是指與多邊形的每一條邊都相切的圓，稱為該多邊形的內切圓，而這個多邊形叫做圓的外切多邊形。內切圓是多邊形內部最大的圓形，其圓心到多邊形的各邊等遠。
在任意正多邊形中都可以內切一個圓。與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心也是三角形的內心，是三角形三條角平分線的交點。三角形一定有內切圓，其他的圖形不一定有內切圓，且內切圓圓心定在三角形內部。該三角形是圓的外切角形。常用的構造線是過圓心作垂直線段。
定義
在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。
一個多邊形至多有一個內切圓，也就是說對于一個多邊形，它的內切圓，如果存在的話，是唯一的。并非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。
性質
（1）在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。
（2）正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。
（3）常見構造線：過圓心作垂直。
計算
1)對于一般的三角形，三角形面積公式如下：
2)在直角三角形的內切圓中，有這樣兩個簡便公式如下
（注：s是Rt△的面積，a, b是Rt△的2個直角邊，c是斜邊）
三角形的內切圓
任何三角形都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般標記為I，是三角形內角平分線的交點。在三線坐標中，內心是1:1:1。內切圓的半徑可以用公式{\displaystyle {\frac {2\triangle }{a+b+c}}}計算，其中{\displaystyle \triangle }表示三角形的面積，a、b、c為三角形的三個邊長。三角形的外接圓半徑R、內切圓半徑r以及內外心間距OI之間有如下關系：{\displaystyle R^{2}-OI^{2}=2Rr}。直角三角形兩股和等于斜邊長加上該三角形內切圓直徑{\displaystyle a+b=c+2r}。在直角座標系中，若頂點的座標分別為{\displaystyle (x_{1},y_{1})}、{\displaystyle (x_{2},y_{2})}、{\displaystyle (x_{3},y_{3})}，則內心的座標為{\displaystyle ({\frac {ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})}。
四邊形的內切圓
不是所有的四邊形都有內切圓，擁有內切圓的四邊形稱為圓外切四邊形。凸四邊形ABCD有內切圓當且僅當兩對對邊之和相等：{\displaystyle AB+CD=AD+BC}。圓外切四邊形的面積和內切圓半徑的關系為：{\displaystyle S_{ABCD}=rs}，其中s為半周長。同時擁有內切圓和外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。這樣的四邊形有無限多個。若一個四邊形為雙心四邊形，那么其內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直。
正多邊形的內切圓
正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。邊長為a的正多邊形的內切圓半徑為：{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}。其內切圓的面積為：{\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}。內切圓面積{\displaystyle s_{n}}與正多邊形的面積{\displaystyle S_{n}}之比為：{\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}。當正多邊形的邊數趨向無窮時，內切圓面積與正多邊形面積的比值趨向于1。
扇形內切圓
與扇形⌒AOB的圓弧⌒AB及兩條半徑OA,OB都相切的圓叫扇形的內切圓。
內切圓圓心O′在扇形的圓心角AOB的角平分線上
(R是扇形半徑,r是內切圓半徑)
過O′作,垂足A,直角三角形中
扇形面積是原來圓面積的
∴扇形的內切圓面積與扇形面積的比為
內切圓的半徑為，當中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長。
內切圓等于外切圓的2分之1
面積與原正方形比為
參考資料 >