Arakelov不等式是Arakelov理論中的重要不等式。原始的不等式沒有上述不等式那么精確，而是如下表達形式：
定義
χ_f<（g-q_f）(b-1+s/2).
這里q_f=q(X)-b, q(X)=h^1(O_X)是曲面非正則性。
這一不等式也可以改進為：
χ_f<（g-q_f）(b-1+r/2).
這里r是奇異雅可比纖維的個數。所謂奇異雅可比纖維就是指其組合結構所對應的對偶圖含有圈。顯然r≦s.
值得注意的是，此處纖維化是半穩定纖維化 這一條件較為重要。如果不是奇異纖維不是半穩定纖維，那么不等式需要改為：
χ_f<（g-q_f）(b-1+r).
注記：上述這些形式并非原始的Arakelov不等式，見下述背景介紹。
背景
χ_f 建立這一不等式的初衷是為了給出算術代數幾何中的高度不等式。所謂高度不等式，在經典代數幾何理論--特別是代數曲面理論-中，相當于Vojta不等式（也就是典范類不等式）這一類型的不等式。 曲面情形的Arakelov不等式目前的改進形式，來自于談勝利、左康和E.Viehweg的合作工作。事實上，這一不等式可以寫為一個精確的等式，其誤差部分，與Hodge數h^{1,1}(X)的估計有關。 Arakelov不等式高維情形的深刻推廣來自于左康和E. Viehweg的著名工作。設f:X→C是一般纖維為n維代數簇的纖維化， C是虧格b的底曲線，奇異纖維個數s。由多重典范線性系|νK_{X}|誘導的關于f的正向層記為E. 設F是E的秩為k的子層。那么我們有 deg F≦(nνk)(b-1+s/2). 如果考慮曲面情形，那么這一不等式的極限情形蘊含了典范類不等式，而后者又等價于開曲面情形的宮岡-丘不等式。反過來，典范類不等式結合肖剛不等式 可以推出原始的Arakelov不等式。 考慮曲面情形。設f:X→C是半穩定的虧格g纖維化, 底曲線是射影直線P^1(也就是虧格0的代數曲線，或者也可看成擴充復平面)。那么我們得到如下結論: (1) f至少有4條奇異雅可比纖維，因此也就至少有4條奇異纖維； (2) 如果恰好有4條奇異雅可比纖維，那么曲面虧格p_g(X)=0, 非正則性q(X)≦1. 進一步還可以得到精確的充要條件，這里限于篇幅，不再詳細敘述。 一個曲面纖維化如果只有兩條奇異纖維，且底曲線是射影直線，那么由上述推論可知，該纖維化必為isotrivial纖維化。 參考資料 >推廣
應用